Az előzőekben láttuk, hogy többféleképpen megfogalmazhatjuk egy vektormező konzervatív avagy "útfüggetlen" voltát.
Ha meg tudjuk állapítani, hogy a vektormezőben mindenhol nulla a cirkuláció akkor konzervatív vektormezővel van dolgunk. Mégegyszer, a "cirkuláció" csupán zárt görbére vett vonalintegrált jelent.
Zárt görbék vonalinterálja már előjött egyszer, mégpedig a Green- és Stokes tételeknél.
Mindenképpen nézz vissza ezekre a tételekre, ha nem lennének ismerősek, mert a
továbbiakat nem lehet megérteni nélkülük.
Ezekkel a tételekkel ki tudjuk számolni a zárt görbére vett vonalinterált,
úgy hogy a rotációt integráltuk végig egy adott D-n.
Maradjuk most két dimenziónál. Ekkor a Green tétel szerint:
$$
\int_C \mathbf F\cdot d \mathbf s = \iint_D \left( \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right) \; dA
$$
Tehát megkapjuk a C zárt görbére vett vonalintegrált, ha a rotáció k komponensét
integráljuk az adott síkon (emlékezz most 2 dimenzós vektormezőkről beszélünk).
Az integrálban található kifejezés tehát a rotáció k irányú kompoenese:
$$
(rot \mathbf F) \cdot \mathbf k = \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}
$$
Erről a rotációról szóló részben már volt röviden szó.
(Három dimenzióban persze a rotáció összes komponensére szükség van).
Észrevehetjük, hogy ha ez a különbség nulla - magyarul a (rotF)k=0 -, akkor a fenti
integrál is nulla lesz. Tehát nulla lesz a vonalintegrál, bármely zárt görbén!
(a rotáció az F vektormező egészére ad információt).
Ezekután akár mondhatnánk azt is, hogy ha egy vektormező rotációja nulla, vagy máshogy mondva
"rotációmentes", akkor konzervatív is. Viszont ez sajnos NEM igaz. Kell még egy plusz felétel
hogy ezt így kimondhassuk, ez pedig az, hogy a vektormezőnk értelmezési tartománya egyszeresen összefüggő
kell legyen.
Nézzük meg mit jelent ez érthetőbben.
Alul látható két lehetséges értelmezési tartomány. Az egyszeres összefüggőség szemléletesen azt jelenti két dimenzióban, hogy "nincsenek benne hézagok":
Ha pontosan akarunk fogalmazni, akkor úgy mondjuk hogy egy tartomány egyszeresen össszefüggő, ha bármely zárt görbét össze tudunk benne húzni egy ponttá miközben a görbe minden pontja a tartományon belül marad. A hézagokat pl. nem tudjuk "megkerülni", és így nem tudjuk egy ponttá összehúzni a görbét.
Itt érdemes megjegyezni, hogy három dimenzóban a "hézag" már egy kicsit mást jelent. Jelenleg viszont csak 2D-ben maradunk, úgyhogy erről most nem lesz szó.
A lényeg mégegyszer a következő: ha van egy F vektormezőnk 2D-ben, és kiszámoljuk hogy $$ \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} = 0 $$ , valamint tudjuk hogy az értelmezési tartomány egyszeresen összefüggő, akkor ez azt jelenti, hogy F konzervatív vektormező.
A következő részben mutatok egy klasszikus példát amin keresztül ezeket a fenti feltételeket nagyon jól meg lehet érteni.
Kapcsolódó cikkek:
Az útfüggetlenség feltételeinek megértése - 2. rész
0 Komment