Divergenciatétel (Gauss-tétel)


Most az elején érdemes megjegyezni, hogy a divergenciatételt gyakran Gauss–Osztrogradszkij tételnek vagy csak egyszerűen Gauss-tételnek is nevezzük.


Visszaemlékezve, egy vektormező divergenciája minden ponthoz rendel egy számot, ami megmondja, hogy ott mennyi többlet-folyadék áramlik "kifelé", vagy mennyi "tűnik el" benne.

Ha fogunk egy térrészt és itt "összeadjuk" az egyes pontok divergenciáját, akkor megkapjuk, hogy ebből a térrészből összesen mennyi folyadék áramlik kifelé (vagy tűnik el). Erről szól a divergenciatétel.
"Összeadni" az egyes pontokat annyit tesz, hogy integráljuk őket az adott határokon, tehát:

\$ \displaystyle \iiint_W \mbox{div}\mathbf F \; dV = $\ 'Összes kiáramló folyadék mennyisége'

Az aktuális térrészt W-vel jelöltük.

Ezekután, képzeljük el ennek a W térrésznek a határát, ami egy zárt felület. Ezt a határt gyakran \$\partial W$\ -vel jelöljük.

Ha van egy felületünk, akkor tudjuk, hogy az ezen átáramló folyadékmennyiséget a felületi integrál "méri". Tehát a W térrészt határoló zárt felület esetén az összes ki- és beáramló folyadék mennyiségét a felületi integrál mondja meg.
Tömören tehát így írhatjuk:

'Összes kiáramló folyadék mennyisége' \$\displaystyle = \iint_{\partial W} \mathbf F \cdot d \mathbf S$\

Egyébként, egy felületen az egységnyi idő alatt átáramló folyadék mennyiségét a folyadék (adott felületre vett) fluxusának is hívjuk. A vektormező persze mást is reprezentálhat, nemcsak folyadékot.

A tétel tehát a fenti felületi integrál és a felületen belüli W térrész divergenciája között teremt kapcsolatot: $$ \iiint_W \mbox{div}\mathbf F \; dV = \iint_{\partial W} \mathbf F \cdot d \mathbf S $$ Magyarul, a divergenciatétel azt az egyszerű tapasztalati tényt önti matematikai formába, hogy ha van egy W térrészünk, akkor az ebből ki/vagy beáramló folyadékmennyiség az adott pillanatban egyenlő a W határán éppen átáramló folyadékkal.

Pontosításnak még érdemes megjegyezni, hogy itt mindig egységnyi időre vonatkoztatunk, tehát a fentieket úgy érdemes olvasni, hogy "a W-ből egységnyi idő alatt kiáramló folyadék mennyisége egyenlő a \$\partial W$\ felületen egységnyi idő alatt átáramló folyadék mennyiségével".


A "miért"-ek persze sosem hagynak nyugodni bennünket, ezért is kérdezzük, hogy miért van erre a tételre szükség?
A válasz, többek között, hogy vannak olyan vektormezők ahol a felületi integrált elég nehéz kiszámolni, ekkor a Gauss-tétel gyakran megkönnyíti a dolgunkat. Erre majd láthatunk néhány példát itt.

Csak érdekességképp írom, hogy vegyük észre a következőt: a divergenciatétel ugye egy zárt felületi integrál és a felületen belüli térrész között állapít meg összefüggést.
Mire emlékeztet ez minket? A Green tételnél lényegében ugyanezt láttuk, csak egy dimenzióval lejjebb.
A Green-tétel röviden egy zárt görbe menti vonalintegrál és a görbén belüli 2D-s terület kapcsolatáról szólt.
Ezért is van, hogy gyakran a divergenciatételt és Green-tételt együtt tanítják.

A Green-tételről szóló rész végén hangsúlyoztam, hogy zárt görbén tartózkodunk.
Hasonlóan, a divergenciatételnek csak zárt felület esetén van értelme, gondolj bele: egy nyílt felület nem határol semmilyen térrészt, így nem tudjuk alkalmazni a tételt. Tehát a felületi integrálban: $$ \iint_{\partial W} \mathbf F \cdot d \mathbf S $$ a \$\partial W$\ egy zárt felületet jelöl.



Kapcsolódó cikkek:
Divergenciatétel - példák

Felületi integrál
Divergencia
Green-tétel

2 Komment

  1. Grant

    Köszi szépen! Baromi jó az oldal, egy hete tanulok a zh-mra, de most érzem először, hogy értek is valamit! Remélem lesz folytatás, akár más témákról is...

Szólj hozzá!

Az email cím nem lesz publikálva!

LaTeX kódot is írhatsz a $$ ... $$ vagy \$ ... $\ közé helyezve.
Komment előnézet:

Név

Captcha:

Nincsenek rendesen kitöltve a mezők! Komment hozzáadva