Felület felszíne - vektoranalízis

Van egy paraméteresen megadott felületünk, hogyan számoljuk ki ennek a felszínét?

A felület felszínének kiszámolása hasonló a görbék ívhosszánál láttotakhoz.
Ott azt csináltuk, hogy felosztottuk a görbét kis egyenes szakaszokra, és így közelítettük a hosszát.

A felületeknél is hasonló az eljárás, a különbség annyi, hogy most a felületet kis téglalapokra osztjuk, és így közelítjük a teljes felszínt.

A következő animáción látható az előzőekben is példaként használt csavarfelület:

Java animáció megjelenítése / elrejtése (nem minden böngésző támogatja már)

A fenti animáción a következő látható: A felső nagy téglalap az értelmezési tartomány D, amit felosztottunk kis téglalapokra.
Az értelmezési tartományon minden zöld téglalaphoz tartozik egy felületdarab pirossal , amit a Φ függvény ad meg.
Tehát fent látható, hogy a Φ hogyan "transzformálja át" az értelmezési tartomány egyes darabjait a piros téglalapokká (felület darabjaivá).
(Ezek a téglalapok "a valóságban" pontszerűen kicsinek tekinthetők.)

Tehát ahhoz hogy kiszámoljuk a felszínt, csak ezeknek a kis (piros) téglalapoknak a területeit kell összeadni.
A kérdés már csak az, hogy hogyan ?

A felületelem felszine részben már volt róla szó, hogy hogyan számoljuk ki egy kis felületdarab felszinét.
Röviden újra: ezeknek a piros felületelemeknek az oldalai \$\frac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial u}$\ és \$\frac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial v}$\ .
Jól ismert, hogy két vektor által meghatározott paralelogramma területét úgy számolhatjuk ki, hogy a vektoriális szorzatukat képezzük, de mivel a vektoriális szorzat eredménye egy vektor, ezért ennek az abszolútértéke adja meg végül a területet.

Összefoglalva tehát, a deriváltvektorok kifeszítenek egy kis téglalapot minden pontban, ezeknek a területeit kereszt-szorzattal kiszámoljuk, majd összeadjuk őket (integráljuk), így megkapjuk a felület teljes felszínét:

$$ A = \iint_D \left\|\frac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial v}(u,v)\right\| \;du \; dv $$

Megjegyzés:
Figyeld meg a görbe ívhosszával való hasonlóságot, azt így számoltuk:

$$ \mbox{L}= \int_a^b \left\|\textbf{c}'(t)\right\| \; dt $$ A felszín kiszámolásánál nem egy [a,b] intervallumon integrálunk, hanem egy D régión. A görbe hosszánál a IIc'(t)II kifejezés lényegében azt mondta meg, hogy c hogyan nyújtja meg, vagy hogyan "alakítja át" az [a,b] intervallumot. Vagy máshogy: a c függvény hatására az [a,b] intervallum hogyan "transzformálódik".
Ez a ronda kifejezés: $$ \left\|\frac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial v}(u,v)\right\| $$ is igazából ugyanezt jelenti, tehát hogy mennyire "nyúlik" vagy "zsugorodik" az értelmezési tartomány D az egyes pontokban, a Φ függvény hatására. Lásd a fenti videót/animációt.

Néhány példát olvashatsz itt a cikkel kapcsolatban.

Kapcsolódó cikkek:
Egységnyi felületelem felszíne