Itt két példa olvasható a divergenciatétellel (avagy Gauss-tétellel) kapcsolatban.
1. példa
Számoljuk ki az \$\iint_S \mathbf F \cdot d\mathbf S$\ felületi integrált, ahol a vektormező: $$ \mathbf F = \left(3x + z^{77},\; y^2-\sin x^2z, \;xz+ye^{x^5} \right) $$ , az S felület pedig egy téglatest: $$ 0 \leq x \leq 1, \quad 0 \leq y \leq 3, \quad 0\leq z \leq 2 $$ A feladatban használjuk a felületből kifelé mutató n normálvektort.
Megoldás: Mivel a vektormező igen "csúnya", közvetlenül a felületi integrált nehéz lenne kiszámolni.
Viszont az F divergenciája már elég szép:
$$
\mbox{div} \mathbf F = 3 + 2y + x
$$
Tehát érdemes a divergencia-tételt használni az integrál kiszámításához, ami azt jelenti hogy a felületi
integrált "áttranszformáljuk" egy hármas integrállá:
$$
\iint_{S} \mathbf F \cdot d \mathbf S = \iiint_B \mbox{div}\mathbf F \; dV
$$
ahol most B jelöli feladatban megadott a téglatestet:
$$
0 \leq x \leq 1, \quad 0 \leq y \leq 3, \quad 0\leq z \leq 2
$$
Tehát ki kell számolnunk a div F hármas integrálját a B-n, és így megkapjuk a felületi integrált: $$ \begin{align} \iint_{S} \mathbf F \cdot d \mathbf S &= \int_0^1 \int_0^3 \int_0^2 (3+2y+x)\; dz \;dy \;dx\\ &=\int_0^1 \int_0^3 (6+4y+2x) \; dy \;dx \\ &= \int_0^1 (18 + 18 + 6x)\;dx\\ &= 36+3 = 39 \end{align} $$
2. példa
Legyen a vektormezőnk \$\mathbf F = (xy^2, yz^2, x^2z)$\.
Számoljuk ki a felüeti integrált a divergencia-tétellel.
A felület most legyen az origó középpontú \$r = 3$\ sugarú gömb.
A normálvektor újra a felületből "kifelé" mutat.
Megoldás: Először ki kell számolnunk a divergenciát:
\$\mbox{div} \mathbf F = y^2+z^2+x^2 $\.
Ezután a hármas integrál így néz ki:
$$
\iiint_B (y^2+z^2+x^2) dV
$$
ahol B az origó középpontú gömb melynek sugara \$r=3$\.
Ahhoz, hogy kiszámoljuk ezt a hármas integrált áttérünk gömbi koordinátákra.
Ha gömbi koordinátákban vagyunk, akkor a fenti gömböt egyszerűen leírhatjuk:
$$
0 \leq r \leq 3, \quad 0 \leq \theta \leq 2\pi, \quad 0 \leq \phi \leq \pi
$$
Egyrészt ugye \$y^2+z^2+x^2 = r^2$\.
Másrészt tudjuk, hogy a Jacobi determináns most
\$r^2\sin\Phi$\.
Tehát a
\$dV = r^2\sin\Phi \;d\Phi \; d\theta\; dr$\
lesz:
$$
\begin{align}
\int_0^3 \int_0^{2\pi} \int_0^4 r^4\sin \phi \; d\phi \; d\theta\;dr &= \int_0^3 \int_0^{2\pi} [-r^4 \cos \phi]_{\phi = 0}^{\phi = \pi} \; d\theta\; dr\\
&= \int_0^3 \int_0^{2\pi} 2r^4 d\theta\;dr\\
&= \int_0^3 4\pi r^4 dr = \frac{4\pi r^5}{5}\bigg|_0^3 = \frac{972\pi}{5}
\end{align}
$$
0 Komment