Divergenciatétel (Gauss-tétel)


Most az elején érdemes megjegyezni, hogy a divergenciatételt gyakran Gauss–Osztrogradszkij tételnek vagy csak egyszerűen Gauss-tételnek is nevezzük.


Visszaemlékezve, egy vektormező divergenciája minden ponthoz rendel egy számot, ami megmondja, hogy ott mennyi többlet-folyadék áramlik "kifelé", vagy mennyi "tűnik el" benne.

Ha fogunk egy térrészt és itt "összeadjuk" az egyes pontok divergenciáját, akkor megkapjuk, hogy ebből a térrészből összesen mennyi folyadék áramlik kifelé (vagy tűnik el). Erről szól a divergenciatétel.
"Összeadni" az egyes pontokat annyit tesz, hogy integráljuk őket az adott határokon, tehát:

\$ \displaystyle \iiint_W \mbox{div}\mathbf F \; dV = $\ 'Összes kiáramló folyadék mennyisége'

Az aktuális térrészt W-vel jelöltük.

Ezekután, képzeljük el ennek a W térrésznek a határát, ami egy zárt felület. Ezt a határt gyakran \$\partial W$\ -vel jelöljük.

Ha van egy felületünk, akkor tudjuk, hogy az ezen átáramló folyadékmennyiséget a felületi integrál "méri". Tehát a W térrészt határoló zárt felület esetén az összes ki- és beáramló folyadék mennyiségét a felületi integrál mondja meg.
Tömören tehát így írhatjuk:

'Összes kiáramló folyadék mennyisége' \$\displaystyle = \iint_{\partial W} \mathbf F \cdot d \mathbf S$\

Egyébként, egy felületen az egységnyi idő alatt átáramló folyadék mennyiségét a folyadék (adott felületre vett) fluxusának is hívjuk. A vektormező persze mást is reprezentálhat, nemcsak folyadékot.

A tétel tehát a fenti felületi integrál és a felületen belüli W térrész divergenciája között teremt kapcsolatot: $$ \iiint_W \mbox{div}\mathbf F \; dV = \iint_{\partial W} \mathbf F \cdot d \mathbf S $$ Magyarul, a divergenciatétel azt az egyszerű tapasztalati tényt önti matematikai formába, hogy ha van egy W térrészünk, akkor az ebből ki/vagy beáramló folyadékmennyiség az adott pillanatban egyenlő a W határán éppen átáramló folyadékkal.

Pontosításnak még érdemes megjegyezni, hogy itt mindig egységnyi időre vonatkoztatunk, tehát a fentieket úgy érdemes olvasni, hogy "a W-ből egységnyi idő alatt kiáramló folyadék mennyisége egyenlő a \$\partial W$\ felületen egységnyi idő alatt átáramló folyadék mennyiségével".


A "miért"-ek persze sosem hagynak nyugodni bennünket, ezért is kérdezzük, hogy miért van erre a tételre szükség?
A válasz, többek között, hogy vannak olyan vektormezők ahol a felületi integrált elég nehéz kiszámolni, ekkor a Gauss-tétel gyakran megkönnyíti a dolgunkat. Erre majd láthatunk néhány példát itt.

Csak érdekességképp írom, hogy vegyük észre a következőt: a divergenciatétel ugye egy zárt felületi integrál és a felületen belüli térrész között állapít meg összefüggést.
Mire emlékeztet ez minket? A Green tételnél lényegében ugyanezt láttuk, csak egy dimenzióval lejjebb.
A Green-tétel röviden egy zárt görbe menti vonalintegrál és a görbén belüli 2D-s terület kapcsolatáról szólt.
Ezért is van, hogy gyakran a divergenciatételt és Green-tételt együtt tanítják.

A Green-tételről szóló rész végén hangsúlyoztam, hogy zárt görbén tartózkodunk.
Hasonlóan, a divergenciatételnek csak zárt felület esetén van értelme, gondolj bele: egy nyílt felület nem határol semmilyen térrészt, így nem tudjuk alkalmazni a tételt. Tehát a felületi integrálban: $$ \iint_{\partial W} \mathbf F \cdot d \mathbf S $$ a \$\partial W$\ egy zárt felületet jelöl.



Kapcsolódó cikkek:
Divergenciatétel - példák

Felületi integrál
Divergencia
Green-tétel

4 Komment

  1. Benedek

    Tényleg nagyon hasznos az oldal, most van nekem matek A3 és először érzem úgy az egyetemen, hogy értem a matekot, méghozzá ennek az oldalnak köszönhetően. Más témakörökre is bőven van igény szerintem.

  2. Ferenc

    Nagyon hasznos. Még csak most kezdtem az egyetemet, de úgy vélem nem árt előre tanulni, tájékozódni kicsit. Mindenképp van rá igény .

  3. Grant

    Köszi szépen! Baromi jó az oldal, egy hete tanulok a zh-mra, de most érzem először, hogy értek is valamit! Remélem lesz folytatás, akár más témákról is...

Szólj hozzá!

Az email cím nem lesz publikálva!

LaTeX kódot is írhatsz a $$ ... $$ vagy \$ ... $\ közé helyezve.
Komment előnézet:

Név

Captcha:

Nincsenek rendesen kitöltve a mezők! Komment hozzáadva