Felület felszíne - példák

Egy példa a felület felszínével kapcsolatban.

Számoljuk ki a felszínét a következő kúpnak:

Φ(r,θ) = (r·cos θ, r·sin θ, r)

,ahol \$0 \leq \theta \leq 2\pi$\ és \$0 \leq r \leq 1$\

Megoldás: Az előzőekben azt találtuk, hogy az általános formula a terület kiszámolására:

$$ A = \iint_D \left\|\frac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial v}(u,v)\right\| \;du \; dv $$

Most u,és v helyett r és θ változókat használunk, így tehát most a következő kifejezést kell kiintegrálni a D régión:

$$ \left\|\frac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial r}(r,\theta) \times \frac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial \theta}(r,\theta)\right\| $$ A D pedig a feladat szerint \$0 \leq \theta \leq 2\pi$\ és \$0 \leq r \leq 1$\ -ig van értelmezve.

Számoljuk ki először a vektoriális szorzatot:

$$ \begin{align} \frac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial r} &=(\cos \theta, \sin \theta , 1)\\ \frac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial \theta} &=(-r \sin \theta , r\cos \theta, 0)\\ \frac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial r} \times \frac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial \theta} &=\left| \begin{array}{ccc} \textbf{i} &\textbf{j} & \textbf{k} \\ \cos \theta & \sin \theta & 1 \\ -r \sin \theta & r\cos \theta & 0 \end{array} \right|\\\\\\ &= \textbf{i}(-r \cos \theta) - \textbf{j}(r \sin \theta) + \textbf{k} r(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)\\\\ &=-r \cos \theta \cdot\textbf{i} -r \sin \theta\cdot\textbf{j} + r \\\\ \left\|\frac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial r} \times \frac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial \theta}\right\|&=\sqrt{r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta + r^2}\\ &=\sqrt{2r^2}= r\sqrt{2} \end{align} $$ A területe tehát: $$ \begin{align} A&=\int_0^1 \int_0^{2\pi} \left\|\frac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial r} \times \frac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial \theta}\right\| \; d\theta \;dr\\ &= \int_0^1 \int_0^{2\pi} r\sqrt{2}\; d\theta \;dr\\ &= \int_0^1 2\pi r\sqrt{2} \;dr\\ &= \pi \cdot r^2\sqrt{2}\;\Big|_0^1 = \pi\sqrt{2} \end{align} $$