A vonalintegrál alternatív jelölésmódjai


A vektormező vonalintegrálját a következőképp írtuk fel:

(1) $$ \int_{C} \mathbf{F}\cdot \; d\mathbf s=\int_{a}^{b} \mathbf{F}(\mathbf{c}(t))\cdot \mathbf{c}'(t) \; dt $$ ,ahol \$\mathbf c(t) = (x(t),\; y(t),\; z(t))$\.
Viszont ezt nem mindig ilyen formában írják fel.

Egy új jelölést kaphatunk a vonalintegrálra, ha "szimbolikusan" elvégezzük a fenti egyenlőség két oldalán található skaláris szorzatokat.

Tegyük fel, hogy három dimenzióban vagyunk. Ekkor \$\mathbf F = (F_1, \; F_2,\; F_3)$\. Ha az egyenlőség bal oldalán található ds-re úgy gondolunk mint egy "vektorra": \$d\mathbf s = (dx,\; dy, \;dz)$\, akkor a skaláris szorzat elvégezhető.
A fenti egyenlet bal oldala tehát: $$ \int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = \int_{C} \left(F_1\;dx + F_2\;dy + F_3\;dz\right) $$ (,ahol \$F_1, \; F_2$\.. stb. a komponensfüggvények)


A jobb oldal pedig a következőképp alakul:
mivel a derivált $$ \mathbf{c}'(t)=\left ( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \right ) $$ ezért, ha ezt skalárisan összeszorozzuk az \$\mathbf{F}(\mathbf{c}(t))$\ vektorral a következőt kapjuk a jobb oldalra $$ \int_{a}^{b} \mathbf{F}(\mathbf{c}(t))\cdot \mathbf{c}'(t) \; dt= \int_{a}^{b} \left (F_1(\mathbf{c}(t)) \frac{dx}{dt} + F_2(\mathbf{c}(t)) \frac{dy}{dt} + F_3(\mathbf{c}(t)) \frac{dz}{dt} \right ) \;dt $$

Az (1) egyenlőség végül így fog kinézni: $$ \int_{C} \left(F_1\;dx + F_2\;dy + F_3\;dz\right) = \int_{a}^{b} \left (F_1(\mathbf{c}(t)) \frac{dx}{dt} + F_2(\mathbf{c}(t)) \frac{dy}{dt} + F_3(\mathbf{c}(t)) \frac{dz}{dt} \right ) \;dt $$ A vonalintegrál képletét tehát néha ilyen formában írják fel. Nézzünk egy példát:

Példa

Számoljuk ki az alábbi vonalintegrált a megadott C görbére: $$ \begin{align} &\int_C (y\;dx+ (x+y)dy+dz)\\[15pt] &\mathbf{c}(t)=(t,\;1-t,\;1) \qquad 0\leq t \leq 1 \end{align} $$

Megoldás:
Mivel \$\mathbf c(t) = (t,\; 1-t,\; 1) = (x(t),\; y(t),\;z(t))$\ ezért $$ \frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t}=1 \qquad \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}=-1 \qquad \frac{\mbox{d}z}{\mbox{d}t}=0 $$ Valamint, a feladat szerint \$F_1(x,y,z) = y$\ , \$F_2(x,y,z) = x+y$\ , és \$F_3(x,y,z) = 1$\ A fenti jelölésmódot használva pedig:

$$ \begin{align} &\int_C (y\;dx+ (x+y)dy+dz) =\\ &=\int_0^1 \left(y(t)\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t} + (x(t)+y(t))\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}+\frac{\mbox{d}z}{\mbox{d}t}\right)dt\\ &=\int_0^1\left[(1-t)(1)+(t+(1-t))(-1)\right]dt\\ &=\int_0^1 \left[(1-t)+(-1)\right]dt\\ &=\int_0^1 -t\;dt= -\frac{t^2}{2}\bigg|_0^1=- \frac{1}{2} \end{align} $$

0 Komment

Szólj hozzá!

Az email cím nem lesz publikálva!

LaTeX kódot is írhatsz a $$ ... $$ vagy \$ ... $\ közé helyezve.
Komment előnézet:

Név

Captcha:

Nincsenek rendesen kitöltve a mezők! Komment hozzáadva