A vektormező vonalintegrálját a következőképp írtuk fel:
(1)
$$
\int_{C} \mathbf{F}\cdot \; d\mathbf s=\int_{a}^{b} \mathbf{F}(\mathbf{c}(t))\cdot \mathbf{c}'(t) \; dt
$$
,ahol \$\mathbf c(t) = (x(t),\; y(t),\; z(t))$\.
Viszont ezt nem mindig ilyen formában írják fel.
Egy új jelölést kaphatunk a vonalintegrálra, ha "szimbolikusan" elvégezzük a fenti egyenlőség két oldalán található skaláris szorzatokat.
Tegyük fel, hogy három dimenzióban vagyunk. Ekkor
\$\mathbf F = (F_1, \; F_2,\; F_3)$\.
Ha az egyenlőség bal oldalán található ds-re úgy gondolunk mint egy
"vektorra": \$d\mathbf s = (dx,\; dy, \;dz)$\, akkor a skaláris szorzat elvégezhető.
A fenti egyenlet bal oldala tehát:
$$
\int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = \int_{C} \left(F_1\;dx + F_2\;dy + F_3\;dz\right)
$$
(,ahol \$F_1, \; F_2$\.. stb. a komponensfüggvények)
A jobb oldal pedig a következőképp alakul:
mivel a derivált
$$
\mathbf{c}'(t)=\left ( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \right )
$$
ezért, ha ezt skalárisan összeszorozzuk az \$\mathbf{F}(\mathbf{c}(t))$\
vektorral a következőt kapjuk a jobb oldalra
$$
\int_{a}^{b} \mathbf{F}(\mathbf{c}(t))\cdot \mathbf{c}'(t) \; dt= \int_{a}^{b}
\left (F_1(\mathbf{c}(t)) \frac{dx}{dt} + F_2(\mathbf{c}(t)) \frac{dy}{dt} + F_3(\mathbf{c}(t)) \frac{dz}{dt} \right ) \;dt
$$
Az (1) egyenlőség végül így fog kinézni: $$ \int_{C} \left(F_1\;dx + F_2\;dy + F_3\;dz\right) = \int_{a}^{b} \left (F_1(\mathbf{c}(t)) \frac{dx}{dt} + F_2(\mathbf{c}(t)) \frac{dy}{dt} + F_3(\mathbf{c}(t)) \frac{dz}{dt} \right ) \;dt $$ A vonalintegrál képletét tehát néha ilyen formában írják fel. Nézzünk egy példát:
PéldaSzámoljuk ki az alábbi vonalintegrált a megadott C görbére: $$ \begin{align} &\int_C (y\;dx+ (x+y)dy+dz)\\[15pt] &\mathbf{c}(t)=(t,\;1-t,\;1) \qquad 0\leq t \leq 1 \end{align} $$
Megoldás:
Mivel \$\mathbf c(t) = (t,\; 1-t,\; 1) = (x(t),\; y(t),\;z(t))$\ ezért
$$
\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t}=1 \qquad \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}=-1 \qquad \frac{\mbox{d}z}{\mbox{d}t}=0
$$
Valamint, a feladat szerint \$F_1(x,y,z) = y$\ ,
\$F_2(x,y,z) = x+y$\ , és
\$F_3(x,y,z) = 1$\
A fenti jelölésmódot használva pedig:
0 Komment