Vektormező vonalintegrálja

Nemcsak valós függvény vonalintegrálját tudjuk értelmezni, hanem vektormező vonalintegrálját is. Arról hogy mi a vektormező ,és hogyan lehet elképzelni egy rövid leírást találhatsz itt.

Talán mondanom sem kell, hogy ez az integrál elég fontos szerepet tölt be a többváltozós analízisen/fizikán belül.

Térjünk vissza az előzőekben használt piros hélixhez, és fűzzünk fel erre a görbére egy mágnesezett fémgolyót. Ezt láthatjuk az alsó képen. Kérdezhetnéd, hogy mi az zöld téglalap a bal oldalon? Az egy nagy mágnest szimbolizál, ami mágneses mezőt hoz létre. Ez a mágneses mező zöld vektorokkal van jelölve. A mágneses mező értékét az egyes pontokban most az \$\mathbf F(x,y,z) = (-1/2, \; 0, \; 0)$\ adja meg. Ez az erő most tehát minden pontban konstans.

Java animáció megjelenítése / elrejtése (nem minden böngésző támogatja már)

A piros hélixet pedig most a \$\displaystyle \mathbf c(t) = (\cos t, \;\sin t,\; t/(3\pi)), \quad 0 \leq t \leq 6\pi$\ vektorértékű függvény adja meg .
A z-komponens azért van leosztva \$3\pi$\-vel, hogy a hélix egy kicsit "összenyomódjon", és jobban nézzen ki.
A magenta színű fémgolyó most tehát csak ezen a görbén mozoghat.

Ha a golyó mozog akkor a vektormező munkát fog végezni (munka=F·s).
A munkát mindig az erő mozgás irányú komponenséből számoljuk.
Az alsó képeken a T jelenti a mozgás irányába mutató egységvektort, F pedig a tényleges erő irányát, ezt az F erőt "levetítve" kapjuk meg a mozgás irányába mutató erőt:

Most a golyó egy hélixen mozog, ezért az "iránya" minden pontban más és más lesz.

A vonalintegrál annyit csinál, hogy ezeket az érintőirányú/mozgásirányú erőket összegzi a görbe minden pontján - minden kis ds szakaszon- végigmenve. (Pontosan fogalmazva, az erők abszolút értékét összegzi, de ez gondolom egyértelmű.)

Még egy dolog hátravan: Matematikailag hogyan adjuk meg a golyó mozgásának az irányát ? Mivel a golyó egy hélixen mozog ezért ez az irány folyamatosan változik, "pontról-pontra".
Ez a pillatnyi irány, mint kiderült, a derivált, azaz \$\mathbf c'(t)$\ (a derivált egy vektort ad meg a t pontban, ami a görbe érintőjének irányába mutat).
A \$\mathbf c'(t)$\-vel annyi probléma van, hogy a hossza is pontról-pontra vátozik, amit szeretnénk elkerülni. Ezért definiáljuk a \$\mathbf T$\ "érintő egységvektort" aminek hossza mindig egy(egységnyi) lesz, iránya viszont mindig érintőirányba fog mutatni az adott pontban: \$\mathbf T(t) = \mathbf c'(t) / \left\| \mathbf c'(t)\right\|$\.
Mivel \$\mathbf c'(t)$\ (és ezáltal \$\mathbf T$\ is) érintője a görbének, ezentúl csak úgy nevezzük \$\mathbf T$\-t, hogy érintő egységvektor. Ez a \$\mathbf T$\ alul most egy kék vektorral van jelölve.

Java animáció megjelenítése / elrejtése (nem minden böngésző támogatja már)

Amire tehát szükségünk van az az F erő érintőirányú komponense, ami nem lesz más mint a skalárszorzat: \$\mathbf F(\mathbf c(t)) \cdot \mathbf T(t)$\
,tehát a c(t) pontban ható F erőt (zölddel az animáción) skalárisan megszorozzuk a mozgás irányával T(t)-vel. Röviden csak azt szoktuk írni, hogy: \$\mathbf F \cdot \mathbf T$\. Ennek a skalárszorzatnak az értéke a függőleges zöld kijelzőn látható a képen.
Érdemes feleleveníteni, hogy a skalárszorzat értéke:

• 0 ha a két vektor merőleges egymásra,
• negatív, ha a két vektor 90-től nagyobb szöget zár be,
• pozitív, ha kisebb mint 90 fokot zárnak be

Ha ezek után összeszorozzuk az erőt, ami tehát \$\mathbf F \cdot \mathbf T$\, a megtett úttal akkor megkapjuk a munkát. Gondolhatunk úgy \$\mathbf F \cdot \mathbf T$\-re mint egy "közönséges" skalár értékű függvényre ,ami megadja az egységnyi ds hosszra vett munkát a görbe mentén.
Ennek alapján nincs más dolgunk, mint egy valós függvény vonalintegrálját képezni:

Ahol C a görbét jelöli. Ez az integrál lényegében összeadja a \$\mathbf F \cdot \mathbf T$\ szorzatot a görbe minden kis \$ds$\ részére.

Emlékezz vissza a vonalintegrál kiszámolására valós függvény esetében:

$$ \int_{a}^{b} f(\mathbf{c}(t)) \cdot \left \| \mathbf{c}'(t) \right \| dt $$

Ha itt kicseréljük f-et \$\mathbf F \cdot \mathbf T$\-re, akkor így fog kinézni:

$$ \int_{C} \mathbf{F}\cdot \mathbf{T} \; ds= \int_{a}^{b} \mathbf{F}(\mathbf{c}(t))\cdot \mathbf{T}(t) \cdot \left \| \mathbf{c}'(t) \right \| dt $$

Ez már a vektormező vonalintegrálja, de még lehet egyszerűsíteni ezen a kifejezésen. Ha visszaemlékszel arra, hogy \$\mathbf T(t) = \mathbf c'(t) / \left\| \mathbf c'(t)\right\|$\, akkor látható, hogy az abszolútértékes taggal, \$ \left\| \mathbf c'(t)\right\|$\ -vel, egyszerűsíteni lehet az integrálban. Ezért ez lesz belőle:

$$ \int_{C} \mathbf{F}\cdot \mathbf{T} \; ds=\int_{a}^{b} \mathbf{F}(\mathbf{c}(t))\cdot \mathbf{c}'(t) \; dt $$

Általában a \$\mathbf T \cdot ds$\ -et az integrál végén \$d\mathbf s$\-el jelöljük.
Mindent egybevetve a vektormező vonalintegrálját kiszámoló végleges formula így néz ki:

$$ \int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s}=\int_{a}^{b} \mathbf{F}(\mathbf{c}(t))\cdot \mathbf{c}'(t) \; dt $$ Ahol C az integráljel alatt a paraméteres c(t) függvényt jelöli.

Néhány példát találhatsz itt.