Egyenes paraméterezése


Ha van két pontunk P és Q, akár a síkban vagy a térben, akkor ez a két pont mindig meghatároz egy egyenest. Egyszerű gondolat, nem? Az első animáción ez látható három dimenzióban. Ha a piros vagy zöld pontokat mozgatjuk, akkor a két pont mindig rajta lesz egy egyenesen.

Namost szeretnénk felírni az egyenletét a fenti egyenesnek. Most nem írhatjuk azt, hogy y=3x+2. Ezt két dimenzióban megtehettük, de ez az egyenlet 3 dimenzióban egyszerűen nem ad elég "információt", nem tudnánk egyértelműen leírni az egyenest ( 3D- ben ez az egyenlet végtelen sok egyenesre igaz, mert ez az egyenlet meghatározza x-et és y-t de a z koordinátát nem ,a z koordináta tetszőleges szám lehet)

Mégis akkor hogyan írhatnánk le egyértelműen ezt az egyenest három dimenzióban? A válasz egyszerű: vektorok segítségével.

Mielőtt továbbmennénk, fontos megjegyezni, hogy az egyenesre másképp is lehet tekinteni. Nem feltétlenül kell úgy gondolni rájuk, mint amiket csak két ponttal lehet meghatározni. Az egyenest meghatározhatja pl. egy pont és egy vektor v ,ami párhuzamos az egyenessel. (Ez a vektor lehet pl. a P-ből a Q-ba mutató vektor).

Tehát képzeld el amint van egy P pontunk (a térben), és egy v vektorunk, ami P-ből indul. Ezzel már meghatározhatunk egy egyenest akár a 3 dimenzióban is.
Eddig minden rendben. Viszont most egy kis változtatást kell eszközölnünk: A P pontra gondoljunk úgy, minta egy másik vektornak végpontja lenne, mégpedig az origóból a P pontba mutatóénak. Nevezzünk ezt a vektort a-nak. (Tehát most a ugye egy helyvektor lesz). Ezt most az alsó animáción látható.

A képen tehát látható a piros vektor (ez a P-be mutató helyvektor a) illetve a zöld vektor ami párhuzamos az egyenessel. A lényegen ez nem változtat. Ha visszanéztek az első animáción látottakra, akkor ez most ugyanaz, csak most áttértünk egy ilyen "vektoros" személetmódra, (ezzel, hogy így irányt adtunk a dolgoknak, annyi plusz információhoz jutottunk hogy képesek leszünk kettőnél magasabb dimenzióban is felírni az egyenest).

A következő ábrán, jelöljünk kékkel egy x vektort. Namost mikor lesz rajta ennek a végpontja az egyenesen?
Az egyenest, mégegyszer, az a és v vektorok határozzák meg.
Az x végpontja rajta lesz az egyenesen, ha az x - a vektor párhuzamos a v-vel (a zöld vektorral).

Mi az x - a vektor?
Ez most az a-ból az x-be mutató vektor (ciánkékkel jelölve). (A fekete háttér a jobb láthatóság miatt van, a cián betűk miatt).


A kék pontot (azaz x-et) mozgathatod, és látni fogod, hogy amíg rajta van az egyenesen addig x - a mindig párhuzamos v-vel.

Na de mit jelent az, hogy a két vektor párhuzamos, hogyan lehetne ezt matematikailag leírni?
Két vektor akkor párhuzamos, ha az egyik kifejezhető a másik skalárszorosaként. Szóval x - a vektor párhuzamos v-vel akkor, ha az x - a = tv egyenlőség fennáll valamilyen \$t \in \mathbb{R}$\ esetén.

Ezt átrendezve gyakran így is írjuk: x = tv+ a.

Ezt a fenti egyenlőséget úgy is hívjuk, hogy az egyenes vektoregyenlete.
Nézzük meg, hogy mennyire hasonlít a 2D-s esetre:

egyenes praméterezése

***

Azt kell észrevenni , hogy amint t végighalad a valós számok halmazán, úgy rajzolja ki x az egyenest (pontosabban x végpontja). Az utolsó animáción ez látható. A t értékét változtatva (a lenti számegyenesen) elmozdul az x vektor végpontja (azaz a kék pont).
Néhány példán keresztül valószínűleg jobban lehet érteni.

Érdemes észrevenni, hogy ha t=0 akkor x = a. Illetve, ha t=1, akkor x=a + v. Ez a két tény gyakorlati szempontból lesz majd hasznos.

Végeredményben tehát az, hogy az egyenest két pont határozza meg, még mindig igaz, most csak kibővítettünk a szemléletmódunkat vektorok segítségével.

(Egy kis megjegyzés:
A vektoranalízisben gyakran mondjuk hogy "adott a (2,3,5) pont", ez mindig egy helyvektort jelöl. Tehát ez egy vektor. Gondoljatok bele: mit nevezünk vektornak? A vektort általános iskolában gyakran úgy tanítják, hogy képzeljük el, mint egy "nyilat", aminek van egy kezdő és végpontja, de gondoljatok bele, vektornak nevezzük a számokból álló listát is pl. (22,1,9). Látni fogjátok, hogy ezek csak egy-egy reprezentációi ugyanannak a valaminek. A matematikusok már régen rájöttek, hogy szükség van egy általános objektum definiálására amelyet vektortérnek (vigyázat, nem vektormező) nevezünk, és ennek a vektortérnek az elemei az ún. 'vektorok'.
Szóval a lényeg az, ha azt mondják "adott a (2,3,5) pont", akkor gondoljatok erre úgy, mint a 2i + 3j + 5k helyvektorra. De ha ez nem emészthető és mindenképp "pontra" szeretnétek gondolni, akkor esetleg gondolhattok úgy rá mint ennek helyvektornak a csúcsára, ha így érthetőbb.
Ezt azért írom, mert többször előjön, és sokaknak nem mindig világos.)


Kapcsolódó cikkek:
- Az egyenes paraméterezésével kapcsolatos példák.
- Paraméteres görbék és deriváltjaik

0 Komment

Szólj hozzá!

Az email cím nem lesz publikálva!

LaTeX kódot is írhatsz a $$ ... $$ vagy \$ ... $\ közé helyezve.
Komment előnézet:

Név

Captcha:

Nincsenek rendesen kitöltve a mezők! Komment hozzáadva