Paraméteres görbék és deriváltjaik


Bevezetés

Legyen c(t) egy vektor-skalár függvény két dimenzióban (\$\mathbf c: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$\). Az első ábrán látható egy példa vektor-skalár függvényre. A „vektor-skalár” függvény elnevezés arra utal, hogy a függvény vektor értékű és skalár változójú. paraméteres görbe derivált Tehát pl t=1 esetre a képen a 4i + 2j helyvektort kapjuk.

Az ilyen típusú függvényekkel leírhatunk különböző görbéket a síkon, a térben, stb.. (Ahogy az egyenes paraméterezésénél is látható)

A függvény skalár változóját szokás paraméternek nevezni. (Jelen esetben a függvény "egyparaméteres".)
A paraméteres azt jelenti, hogy van egy t független változónk, és ettől a t-től függ az x és y koordináta. A t-re lehet úgy gondolni, mint pl. az időre. Ahogy haladunk az időben, úgy változik az x és y koordinátánk. (Ezt a t változót nevezzük paraméternek). Erre a paraméterezésre egyrészt azért van szükség, mert így sokkal általánosabban, illetve egyszerűbben leírhatjuk a görbéket.

Pl. 3D-ben a t-edik másodpercben a P(x(t); y(t); z(t)) pontban vagyunk. Ahol x(t) y(t) és z(t) közönséges függvények. Látható, hogy ezek a koordináta-függvények nem függnek egymástól, csakis t-től.

A lényeg tehát, hogy t minden értékéhez rendelünk egy pontot a térben, vagy a síkban.. stb.
(Matematikailag ugye valójában vektorokról van szó. Mikor azt mondom 'pont', ezt úgy is el lehet képzelni mint egy origóból induló vektor (helyvektor) végpontját. Ezért is írjuk a c(t) függvényt vastagbetűvel, mert értéke egy vektor lesz. (\$\mathbf c: \mathbb R \to \mathbb R^2$\) És ahogy haladunk a t-ben, úgy rajzolja ki a c(t) vektor végpontja a görbét. Lásd a következő videón.)

Az alsó animáción látható egy ellipszis, \$\mathbf c(t) = (3\cos t)\mathbf i + (2\sin t)\mathbf j$\. A c(t) függvény most egy kék nyíllal van jelölve.
Ahogy változtatjuk a t paramétert 0-tól 2π-ig (az alsó csúszkával), úgy rajzolja ki a vektor hegye az ellipszist.

Java animáció megjelenítése / elrejtése (nem minden böngésző támogatja már)

- Megjegyzés: Matematikailag is meg lehet mutatni, hogy ez a görbe egy ellipszist rajzol ki. Legyen \$(x,y)$\ egy tetszőleges pontja a görbének: \$(x,y) = \mathbf c(t)$\. Ekkor mivel \$\mathbf c(t) = (3\cos t, \; 2\sin t)$\ azt mondhatjuk , hogy \$x = 3\cos t$\, és \$y = 2\sin t$\. Remélem látod, hogy a következő egyenletbe miért lehet behelyettesíteni ezeket. (Ez egyébként az ellipszis egyenlete.)

$$ \frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1 $$

(Ha tudod , hogy \$\cos^2 t + \sin^2 t = 1$\, akkor gondolom látható, hogy \$3\cos t$\ és \$2\sin t$\ miért helyettesíthető be x és y helyére.)

A derivált értelmezése paraméterezett görbéknél

A c(t) deriváltja analóg az egyváltozós esetben használttal:

(1) $$ \mathbf c'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{\mathbf c(t+h) - \mathbf c(t)}{h} $$

Egyváltozós esetben a deriváltat úgy értelmeztük, mint a függvény "meredekségét" az adott pontban, ott ez közönséges szám volt. Igaz-e ez egy ilyen vektorértékű függvénynél is? Most a derivált egy kicsit más: egy vektor. Mivel vektor, ezért most a deriváltnak iránya és nagysága is van.
A deriváltvektor iránya az adott pontban a görbe érintőnek irányát mutatja. Az abszolút értéke \$\left\| \mathbf c'(t) \right\|$\ pedig lényegében a "sebesség nagyságát" mondja meg az adott pontban (ha képszeletben egy részecskére gondolunk, ami a görbén halad). Itt olvashatsz erről részletesebben: Paraméteres görbék - fizikai interpretáció

Naszóval, nézzük meg hogy az (1). képlet hogyan adja meg a görbe érintőjét !
A következő animáción látható ugye a kék vektor ami c(t)-t ábrázolja. Ezen felül látható még c(t+h) zölddel, és végül a piros, ami most a deriváltvektor "közelítését" jelenti, most jelöljünk g-vel ! $$ \mathbf g(t) = \frac{\mathbf c(t+h)- \mathbf c(t)}{h} $$ (A számláló ugye a c(t)-vektorból a c(t+h)-ba mutató vektort jelenti.) A g tehát a deriválttól (1) abban különbözik, hogy nincs benne limesz.

Ha h=1, akkor g(t)=c(t+1)-c(t) , a piros vektor eleje és vége a zöld illetve a kék vektorok csúcsai lesznek. A lenti animáción látható, ha h értékét csökkented, akkor a zöld vektor egyre közelebb kerül a c(t)-hez. Így a piros vektor egyre jobban megközelíti az tényleges érintőt.
Amikor h=0, akkor a zöld és a kék vektorok ugyanazok lesznek. Határétékként pedig a piros vektor egyenlő lesz a c'(t)-vel.

Java animáció megjelenítése / elrejtése (nem minden böngésző támogatja már)

A c'(t) függvényt ezek után felhasználhatjuk pl. arra, hogy megmondjuk egy adott pontban az érintőegyenes képletét.

2 Komment

  1. filad

    @Marci
    Szia! Az, hogy nem Firefoxot használsz.
    A Java animációkat már egyre kevésbé támogatják a böngészők, úgyhogy majd videók lesznek helyettük (remélhetőleg holnap, de maximum a jövő héten megcsinálom). Aztán majd valamikor át lesz írva Javascriptben az egész, mert jó lenne ha interaktív maradna minden.

Szólj hozzá!

Az email cím nem lesz publikálva!

LaTeX kódot is írhatsz a $$ ... $$ vagy \$ ... $\ közé helyezve.
Komment előnézet:

Név

Captcha:

Nincsenek rendesen kitöltve a mezők! Komment hozzáadva