Felület normálvektora

Az egységnyi felületelem felszíne részben minden kis felületelemet úgy közelítettünk, mintha paralelogramma lenne, aminek az oldalait a \$\displaystyle\frac{\partial \Phi }{\partial u} \Delta u$\ és a \$\displaystyle\frac{\partial \Phi }{\partial v} \Delta v$\ vektorok alkotják. Ennek a kis felületelemnek a területét ezen két vektor vektoriális szorzatának abszolút értéke adta meg.
(Mégegyszer: ez a "kis felületelem" most a felület egy végtelenül kicsiny darabját jelöli.)

A vektoriális szorzat egyik tulajdonsága, hogy az abszolút értéke a két vektor által "kifeszített" paralelogramma területét adja meg. A másik tulajdonsága, hogy merőleges a vektorok által kifeszített síkra. Mint kiderült, \$\displaystyle \frac{\partial \Phi }{\partial u}(u,v)$\ és \$\displaystyle \frac{\partial \Phi }{\partial v}(u,v)$\ a felület érintőirányaiba mutatnak. Ebből az következik, hogy keresztszorzatuk: $$ \frac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial v}(u,v) $$ merőleges lesz a felületre az adott (u,v) pontban,és mivel merőleges ezért ez megfelel normálvektornak.

Gyakran viszont szükségünk van a normál egységvektorra, magyarul a normálvektorra melynek hossza egy. Ezt a normál egységvektort úgy kapjuk meg, hogy leosztunk az abszolútértékkel:

$$ \textbf{n}= \frac{\dfrac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial u}(u,v) \times \dfrac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial v}(u,v)}{\left\| \dfrac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial u}(u,v) \times \dfrac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial v}(u,v)\right\|} $$

Felület irányítása

Ha visszatekintünk a görbékre, akkor ott is beszéltünk irányról, irányításról.
Ha van egy c(t) görbénk ahol \$a \leq t \leq b$\, és tudjuk azt, hogy c(a)=p és c(b)=q akkor mondhatjuk hogy a görbe iránya p-ből a q pontba mutat, vagy máshogy mondva: a görbe p-ből a q-ba tart.

c(t) bármelyik pontjában megmondhatjuk az aktuális irányt, ez nem más mint a görbe deriváltja c'(t), viszont jobb ha ennek a vektornak a hossza mindig egy, ezért a görbe aktuális irányát az "érintő egységvektorral" írjuk fel:

$$ T = \frac{\mathbf c'(t)}{\left\| \mathbf c'(t)\right\|} $$ Egy másik függvény legyen d(s), \$a \leq s \leq b$\. A két végpontja pedig így nézzen ki: d(a)=q, valamint d(b)=p.

Ennek a görbének az aktuális "pontbeli" irányát a

$$ T = \frac{\mathbf d'(s)}{\left\| \mathbf d'(s)\right\|} $$ adja meg.

Ha c(t)=d(t) akkor ezek ugyanazt a görbét fogják kirajzolni, de az egyes pontokban ez az "érintő egységvektor" éppen ellentétes lesz! Az alsó ábrán láthatóak ezek a vektorok egy-egy pontban a két függvénynél:

A görbéknél tehát az érintővektorral tudunk "irányt" megadni. Mint kiderült, a felületeknek is lehet irányt adni az egyes pontokban a normálvektor segítségével, erről lesz szó a továbbiakban.

Egy felületnek is kétfajta irányítása lehet (hasonlóan, mint a görbéknél). Egy felületnek általában két oldala van, azért csak általában, mert vannak olyan felületek mint például a Möbius-szalag, aminek - bármilyen furcsa -, csak egy oldala van.
A normálvektor ugye merőleges a felületre, a baj csak az, hogy két irányba is mutathat (a felületből "kifelé", vagy ellentétesen "befelé", mindkét esetben merőleges lesz az ottani érintősíkra). Hogy melyik irányba mutasson azt mi választhatjuk meg. Amelyik oldalából kifelé mutat a normálvektor azt nevezzük a felület pozitív oldalának.
Hogy miért ilyen fontos a felületnek ezen a módon irányt adni? Mert ez határozza majd meg a felületi integrál tényleges értékét.

Nézzünk egy példát:
Legyen egy origó középpontú gömbünk, a gömbi koordinátákat felelevenítve ezt a gömböt megadhatjuk a következő paraméterezéssel: $$ \Phi(\theta,\varphi) = (R\;\sin\varphi\cos\theta,\; R\; \sin\varphi\sin\theta,\;R\;\cos\varphi ) $$ ,ahol \$0 \leq \theta \leq 2\pi $\ és \$0 \leq \varphi \leq \pi$\.

A felület (egyik) normál egységvektora a következő volt (cikk első fele):

$$ \textbf{n}= \frac{\dfrac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial u}(u,v) \times \dfrac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial v}(u,v)}{\left\| \dfrac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial u}(u,v) \times \dfrac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial v}(u,v)\right\|} $$
Ennek alapján, számoljuk ki a gömb normál egységvektorát - egy tetszőleges \$(\theta, \varphi)$\ pontban. $$ \begin{align*} \frac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial \theta}(\theta,\varphi) &=(-R \sin \varphi \;\sin \theta,\; R \sin \varphi\; \cos \theta,\;0 )\\\\ \frac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial \varphi}(\theta,\varphi) &=(R \cos \varphi \;\cos \theta,\; R \cos \varphi\; \sin \theta,\;-R \sin \varphi)\\\\ \frac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial \theta} \times \frac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial \varphi} &=\left| \begin{array}{ccc} \textbf{i} &\textbf{j} & \textbf{k} \\ -R \sin \varphi \;\sin \theta & R \sin \varphi\; \cos \theta & 0 \\ R \cos \varphi \;\cos \theta & R \cos \varphi\; \sin \theta & -R \sin \varphi \end{array} \right|=\\ \\ &=-R^2\;\sin^2 \varphi \;\cos \theta \mathbf{i}-R^2\sin^2\varphi\;\sin\theta\mathbf{j}\\ &-R^2\;\sin \varphi \;\cos \varphi\;(\sin^2\theta\cos^2+\theta)\mathbf{k}\\ &=(-R^2\;\sin^2 \varphi \;\cos \theta) \mathbf{i}-(R^2\sin^2\varphi\;\sin\theta)\mathbf{j}\\&-(R^2\;\sin \varphi \;\cos \varphi\;)\mathbf{k}\\ &=-R^2\;\sin \varphi (\sin \varphi \cos\theta\mathbf{i}+\sin \varphi \sin\theta\mathbf{j}+ \cos \varphi\mathbf{k})\\ \\\\ \left\|\frac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial u}(\theta,\varphi) \times \frac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial v}(\theta,\varphi)\right\|&=R^2\sin\varphi \sqrt{\sin^2\varphi\cos^2\theta+\sin^2\varphi\sin^2\theta+\cos^2\varphi}\\ &=R^2\sin\varphi \sqrt{\sin^2\varphi(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+\cos^2\varphi}\\ &=R^2\sin\varphi \sqrt{\sin^2\varphi+\cos^2\varphi}\\ &=R^2\sin\varphi \end{align*} $$ Az egységnyi normálvektor tehát: $$ \begin{align} \textbf{n}&= \frac{\dfrac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial u}(u,v) \times \dfrac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial v}(u,v)}{\left\|\dfrac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial u}(u,v) \times \dfrac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial v}(u,v)\right\|}\\ &=-\sin \varphi \;\cos \theta \textbf{i}-\sin \varphi \;\sin \theta \textbf{j}-\cos\varphi\textbf{k}\\ &=(-\sin \varphi \;\cos \theta, -\sin \varphi \;\sin \theta, -\cos\varphi) \end{align} $$ Ez lesz tehát a gömb normálvektora egy adott\$(\theta, \varphi)$\ pontban.

Érdemes megfigyelni a következőt:
A gömb most a Φ(θ,φ) = (R sinφ cosθ, R sinφ sinθ, R cosφ) függvénnyel volt megadva. (Ez a fv ugye minden pontban egy origóból induló helyvektort ad meg, amelyeknek a "csúcsai" kirajzolják a tényleges gömböt.)
Figyeld meg, hogy az n, amit most kiszámoltunk, éppen Φ(θ,φ)-vel ellentétes irányba mutat. (Mert n egyenlő -1/R ·Φ(θ,φ) )
Következésképpen n mindig az origó felé, a gömb középpontja felé mutat. Ez az n vektor látható az alsó animáción, tetszőleges (θ,φ) pontban. (a csúszkákkal tudod változtatni θ és φ értékét).
Most tehát a gömb belső oldala lesz a "pozitív" oldal!

Java animáció megjelenítése / elrejtése (nem minden böngésző támogatja már)

A normálvektor persze fordított irányba is mutathat, ha a \$\dfrac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial \varphi} \times \dfrac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial \theta}$\ -vel értelmezzük. Miben különbözik ez a \$\dfrac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial \theta} \times \dfrac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial \varphi}$\ -től?
Emlékezz vissza a vektoriális szorzat tulajdonságaira, a két vektor éppen egymás ellentétei: \$\dfrac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial \varphi} \times \dfrac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial \theta} = -\dfrac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial \theta} \times \dfrac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial \varphi}$\ (úgyis hívják 'anti-kommutatív').

Ebben az esetben a normál egységvektor ez lesz:

$$ \textbf{n}= \frac{\dfrac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial \varphi} \times \dfrac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial \theta}}{\left\|\dfrac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial \varphi} \times \dfrac{\partial \mathbf{\Phi} }{\partial \theta}\right\|} = (\sin \varphi\; \cos \theta,\;\sin \varphi\; \sin \theta,\;\cos \varphi) $$

A normálvektor most "kifelé" mutat (lásd alul). Mikor tehát így megcseréltük a kereszt-szorzatot, a felület irányítása is megváltozott: most a gömb külső oldala lesz a "pozitív" oldal. Azt, hogy éppen milyen "orientáltságú" legyen a normálvektor (melyik legyen a felület pozitív oldala) a feladattól függően választjuk meg.

Java animáció megjelenítése / elrejtése (nem minden böngésző támogatja már)