Valós függvény vonalintegrálja - példák

Példák valós függvény vonalintegráljával kapcsolatban.

1. példa

Legyen $$ \mathbf c(t) = (3t-2, \; t+1) \qquad 1\leq t \leq 2 $$ ,ami egy drótkötél pontjait adja meg. A drótkötél sűrűségét ("pontbeli" tömegét) az \$f(x,y) = x+y$\ adja meg.
Számítsuk ki a drót tömegét.

Megoldás: Az össztömeget megkapjuk ha a kötél egyes pontjainak tömegét összeadjuk. Mivel most ezt a "pontbeli tömeget", vagy sűrűséget, az \$f(x,y)$\ adja meg, ezért ezt kell integrálni a c(t) görbe mentén. Ki kell tehát számolnunk az \$\displaystyle \int_{\mathbf c} f \; ds$\ kifejezést. $$ \mathbf c'(t) = (3,1)\\[15pt] \left\| \mathbf c'(t) \right\| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}\\[15pt] f(\mathbf c(t)) = (3t-2) + (t+1) = 4t -1 $$ Ezért az integrál: $$ \begin{align} \int_{\mathbf{c}} f \;ds &= \int_{a}^b f(\mathbf{c}(t))\cdot \left\|\mathbf{c}'(t)\right\| \;dt \\ &= \int_{1}^2 (4t-1)\cdot \sqrt{10} \;dt\\ &= (2t^2-t)\sqrt{10}\bigg|_1^2 \\ &= (8-2-(2-1))\sqrt{10}= 5\sqrt{10} \end{align} $$

Ha \$f(x,y)$\ gramm/cm -ben lenne megadva és c(t) pedig cm-ben, akkor a drót tömege \$5\sqrt{10}$\ gramm lenne.

2. példa

Sem a görbe ívhossza, sem pedig a tömege (vonalintegrálja) nem függ a görbe paraméterezésétől.
Az alábbi p görbe ugyanaz az egyenes szakasz mint az 1.példában volt, csak más a paraméterezése: $$ \mathbf p(t) = (9t - 2, \; 3t + 1), \qquad \dfrac{1}{3} \leq t \leq \dfrac{2}{3} $$

Számoljuk ki, hogy a vonalintegrálra tényleg ugyanazt az értéket kapjuk-e mint előbb.

Megoldás: (Hasonlóan az 1.pédához \$f(x,y) = x+y$\ ) $$ \mathbf{p}'(t) = (9,3)\\[15pt] \left\|\mathbf{p}'(t)\right\| = \sqrt{9^2+3^2}=\sqrt{90}= 3\sqrt{10}\\[15pt] f(\mathbf{p}(t)) = (9t-2) + (3t+1)= 12t-1 $$ az integrál pedig $$ \begin{align} \int_{\mathbf{p}} f \;ds &= \int_{1/3}^{2/3} f(\mathbf{p}(t))\cdot \left\|\mathbf{p}'(t)\right\| \;dt \\ &= \int_{1/3}^{2/3} (12t-1)\cdot 3\sqrt{10} \;dt\\ &= (6t^2-t)3\sqrt{10}\bigg|_{1/3}^{2/3} \\ &= \left[6\left(\frac{2}{3}\right)^{2}-\frac{2}{3}-\left(6\left(\frac{1}{3}\right)^{2}-\frac{1}{3}\right)\right]3\sqrt{10}\\ &= \left(\frac{24}{9}-\frac{2}{3}-\frac{6}{9}+\frac{1}{3}\right)3\sqrt{10}\\ &= \frac{5}{3}3\sqrt{10}=5\sqrt{10} \end{align} $$ ami pedig megegyezik az 1.példában kapott értékkel.
Az elején azt mondtam, hogy ez ugyanaz az egyenes, mint az előző példában volt, csak máshogy paramétereztük. Figyeld meg, hogy ennek a paraméterezésnek a "sebessége" \$\left\| \mathbf p'(t)\right\| = 3\sqrt{10}$\ , ami háromszorosa az 1.példában látottnak. Az intervallum nagysága viszont amiben integráltunk \$1/3 \leq t \leq 2/3$\ , most csak harmadannyi. Lényegében ez a két hatás "kioltja" egymást, és a két vonalintegrál értéke végül ugyanaz lesz.

3. példa

Ebben a példában megint ugyanaz az egyenes van mint az előző kettőben, csak most a paraméterezés "sebessége" nem lesz konstans, (függ t-től).

$$ \mathbf q(t) = (3t^2 - 2, \;t^2 + 1), \qquad 1 \leq t \leq \sqrt{2} $$ Megoldás: Mert, $$ \mathbf{q}'(t) = (6t,2t)\\[15pt] \left\|\mathbf{q}'(t)\right\| = \sqrt{(6t)^2+(2t)^2}=\sqrt{(40t)^2}= 2t\sqrt{10}\\[15pt] f(\mathbf{q}(t)) = (3t^2-2) + (t^2+1)= 4t^2-1 $$ ezért a vonalintegrál: $$ \begin{align} \int_{\mathbf{q}} f \;ds &= \int_{1}^{\sqrt{2}} f(\mathbf{q}(t))\cdot \left\|\mathbf{q}'(t)\right\| \;dt \\ &= \int_{1}^{\sqrt{2}} (4t^2-1)\cdot 2t\sqrt{10} \;dt\\ &=\int_{1}^{\sqrt{2}} (8t^3-2t)\cdot \sqrt{10} \;dt\\ &= (2t^4-t^2)\sqrt{10}\bigg|_{1}^{\sqrt{2}} \\ &=\left[2(\sqrt{2})^4-(\sqrt{2})^2-2+1\right]\sqrt{10}=5\sqrt{10} \end{align} $$ Ez pedig megegyezik az első két példa végeredményével.