Görbe ívhossza

Tehát van egy paraméteresen megadott görbénk - pl. a térben - és ennek szeretnénk megmérni a hosszát.
A görbékről egy rövid bevezető írást találhatsz itt.

A görbe ívhosszát a következő képlettel számolhatjuk ki: $$ L(c) = \int_a^b \left\| \mathbf c'(t)\right\|\;dt $$

Itt nyilván \$\mathbf c(t)$\ jelenti a görbét, aminek meg szeretnénk mérni a hosszát.
Ebben a cikkben megmutatom, hogyan lehet ehhez a képlethez eljutni. Ha látod, hogy honnan jönnek ezek az összefüggések, akkor sokkal egyszerűbb őket megjegyezni, mintha csak úgy bemagolnád.

Legyen tehát a görbénk \$\mathbf c(t) = (\cos t, \; \sin t ,\; t)$\, ahol \$0\leq t \leq 6\pi$\.
(Ezt "hélix"-nek is nevezzük). Alul látható.

Java animáció megjelenítése / elrejtése (nem minden böngésző támogatja már) A sötétkék pontot mozgatva a slider-en változtathatjuk a t paramétert. A görbén lévő világos pont pedig mutatja az \$\mathbf x = (\cos t, \; \sin t ,\; t)$\ pont aktuális pozícióját.

Namost szeretnénk ennek a hélixnek meghatározni a hosszát. Ez elsőre nehéz feladatnak tűnik, mivel nem egyenessel van dolgunk. Viszont a hélixet is lehet egyenes szakaszokkal közelíteni! Ez látható alul. Ahogy egyre kisebb szakaszokkal közelítjük, akkor ezeknek a szakaszoknak az összege egyre jobban megközelíti a piros hélix hosszát.

Java animáció megjelenítése / elrejtése (nem minden böngésző támogatja már) A sötétkék pontot mozgatva szabályozhatjuk, hogy ezek a közelítő "kis egyenes-szakaszok" mennyire közelítsék meg az eredeti görbét.

Ezeknek a kis szakaszoknak a hosszát pedig már könnyű mérni. (A kis szakaszok összegét az ábrán a zöld függőleges "L(dt)" feliratú slideren ábrázoltam)

Tehát a kérdés az, hogy mennyi a hossza ezeknek a kis szakaszoknak egyenként.
Ha feltesszük, hogy n szakasz van, akkor feloszthatjuk a \$t$\ paramétert \$t_0, \; t_1,\; t_2, ... \; t_n$\ részekre úgy, hogy ez első kis szakasz a \$\mathbf c(t_0)$\-tól \$\mathbf c(t_1)$\-ig megy, a második kis szakasz \$\mathbf c(t_1)$\-tól \$\mathbf c(t_2)$\-ig megy stb...
A vektor ami \$\mathbf c(t_0)$\-ból a \$\mathbf c(t_1)$\-be mutat egyszerűen \$\mathbf c(t_1) - \mathbf c(t_0)$\. Tehát az első kis szakasz hossza \$\left\|\mathbf c(t_1) - \mathbf c(t_0) \right\|$\.
A második kis szakasz hossza \$\left\|\mathbf c(t_2) - \mathbf c(t_1) \right\|$\, és így tovább..

Ezekután pedig ezeket összeadhatjuk:

(1) $$ \sum_{i=1}^n \;\left\| \mathbf c(t_i) - \mathbf c(t_{i-1}) \right\| $$ Így kaptunk egy közelítést a görbe ívhosszára.

Eddig minden rendben, most viszont egy "trükkhöz" kell folyamodnunk. Ha \$\Delta t_i = t_i - t_{i-1}$\, akkor ezt átrendezve a \$t_i = \Delta t_i + t_{i-1}$\ kifejezést kapjuk. (Most ez még értelmetlennek tűnhet, de várd ki a végét.)
Az (1) kifejezést \$\Delta t_i$\ -vel bővítve a kis szakaszok teljes összegét leíró szummából ez lesz:

(2) $$ \begin{align} \sum_{i=1}^n \;\left\| \mathbf c(t_i) - \mathbf c(t_{i-1}) \right\| &= \sum_{i=1}^n \;\left\| \mathbf c(t_{i-1} + \Delta t_i ) -\mathbf c(t_{i-1}) \right\| \\ &=\sum_{i=1}^n \;\left\| \frac{\mathbf c(t_{i-1} + \Delta t_i ) -\mathbf c(t_{i-1})}{\Delta t_i} \right\| \cdot \Delta t_i \end{align} $$ A (2). kifejezés nem tűnik valami túl nagy újításnak az (1)- hez képest, viszont ha jobban megnézed akkor, a tört éppen a c vektorértékű függvény deriváltjánál látott definícióra hasonlít, (csak most linkelt cikkel ellentétben \$h$\ helyett \$\Delta t_i$\ van).

Ha \$\Delta t_i \to 0$\ (amivel egyidőben a kis "közelítő szakaszok" száma is növekszik), akkor a norma közötti törtből \$\mathbf c'(t)$\ lesz, a szummából pedig integrál:
(3) $$ L(c) = \int_a^b \left\| \mathbf c'(t)\right\|\;dt $$ , ami pedig az eredeti görbe hossza. Az \$a$\ és \$b$\ integrálási határok a \$t$\ paraméter kezdő és végpontjait jelentik. A mi példánkban, a hélix esetén \$ 0 \leq t \leq 6\pi$\ volt

Ha olvastad , talán még emlékszel, hogy a \$\left\| \mathbf c'(t)\right\|$\, azaz a deriváltvektor abszolút értéke egyenlő a részecske "gyorsaságával" a t-edik időpontban (ha a görbe éppenséggel egy részecske mozgását ábrázolja.),
az utolsó - (3) - képlet egyszerűen ezt mondja: az összes - részecske által megtett - utat megkapjuk, ha a sebességét integráljuk az adott határokon. (ismerős az s=vt képlet?)
(Ez az út egyébként független a részecske sebességétől. Mindegy hogy a lenti boltba sétálok vagy futok, úgy is ugyanannyi utat teszek meg, - a t persze egy rövidebb intervallumra szűkül. Ez majd ott jön elő, hogy a vonalintegrál értéke független a t paraméter megválasztásától.. )

Itt találhatsz néhány példát a görbék ívhosszával kapcsolatban.