A rotáció komponensei, kiegészítés

Ha ismered a vonalintegrált (vektormező vonalintegrálját), akkor biztos meg fogod érteni az alábbi leírást. Ez a cikk egy kis bevezető abba, hogy honnan jön a rotáció képlete. Ez még nem a teljes levezetés. (A teljes levezetés itt található.)
Az előző részben a rotáció komponenseit így jelöltük: $$ rot \mathbf F = \mathbf v = v_1 \mathbf i + v_2 \mathbf j + v_3 \mathbf k $$

A rotáció x-komponensét vizuálisan a következőképp ábrázoltuk: fogtunk egy gömböt amit feltűztünk egy egyenesre, ami párhuzamos az x-tengellyel. Az x-komponens abszolút értéke megegyezett a gömb forgásának "gyorsaságával".

Az x-komponenst a skaláris szorzat tulajdonságai miatt a következőképp is írhatjuk: \$v_1 = \mathbf v \cdot \mathbf i = rot \mathbf F\cdot \mathbf i$\
Mivel most a gömböt úgy korlátoztuk, hogy csak az x-tengellyel párhuzamosan pöröghet, ezt "pörgést" csak az yz síkban levő vektorok befolyásolják (amik egyúttal merőlegesek az x-tengelyre). Azért síkot mondok, mert a gömb végtelenül kicsi. A lényeg az, hogy az x-komponens az adott pontban csak a (F_y,F_z) -től függ. (ami egy 2D-s vektormező)

Ahhoz hogy mégjobban átlássuk a problémát, lent látható amint a síkon felvettünk egy zárt görbét, ami ugyanott van ahol a gömb volt előbb. (Ez a görbe pirossal látható, és az yz síkon fekszik). A vektormező cirkulációja a piros görbe mentén: \$\displaystyle \int_c \mathbf F \cdot d \mathbf s$\ , azaz a vonalintegrál.
Namost nekünk a rotációnál nem a sima cirkulációt kell kiszámolnunk, hanem az ún. "mikroszkopikus cirkulációt", ami lényegében a területegységre eső cirkulációt jelenti.
(Ezt néha úgy is hívom, hogy pontbeli cirkuláció, de ez nem teljesen jó mert ténylegesen nem pontbeli, hanem egy végtelenül kis területre eső "cirkuláció-mennyiségről" van szó.)

Ahhoz, hogy kiszámoljuk a "mikroszkopikus cirkulációt" (vagyis területegységre eső cirkulációt) a fenti vonalintegrált el kell osztanunk a görbe által határolt területtel. Ha ezzel végeztünk, akkor bár megkapjuk a területegységre eső cirkulációt, de az eredmény annál pontosabb lesz, minél kisebb területet integrálunk körbe.
Ezt tehát úgy oldjuk meg, hogy a körülintegrált terület tartson a nullához. (Mert ha "túl nagy" ez a terület amit körbeintegrálunk, akkor csak egy rossz átlagot kapunk a cirkulációra az egyes pontokban. Minél kisebb a terület, ez az átlag annál jobban megadja a pont környezetében a cirkulációt.)
A fenti képen a piros görbén próbálom ezt szemléltetni, ha a slidert mozgatod, akkor a görbe által határolt terület egyre kisebb lesz.
Az x-komponens definíciója tehát: $$ rot \mathbf F \cdot \mathbf i = \lim_{A \to 0} \dfrac{\oint_C \mathbf F \cdot d\mathbf s}{A} $$ Általában nem ezt használjuk , ha a rotációt ki akarjuk számolni, mert gyakran nehézkes.

Levezethetjük, hogy a fenti határérték, vagyis az x-komponens a következő alakra egyszerűsíthető: $$ v_1 = rot \mathbf F \cdot \mathbf i = \frac{\partial F_3}{\partial y} -\frac{\partial F_2}{\partial z} $$

Ahol az F₂ és F₃ a vektormező y és z irányú komponensei.

Egy két-dimenziós vektormezőnél tehát egy (a,b) pont körül a "mikroszkopikus cirkuláció" nagysága a következő:

Ahol az F₂ és F₃ az F vektormező komonensfüggvényei. (A levezetését lásd a fenti linken) (A fenti kifejezés most nem vektor, azzá csak a rotációnál válik ha F háromdimenziós)

Kapcsolódó cikkek:
- Olvashatsz a mikroszkopikus vs. makroszkopikus cirkulációról ha érdekel.
- A vonalintegrál mint "cirkuláció"