A "mikroszkopikus cirkuláció" kifejezést nem nagyon használják a matematikában helyette inkább a rotáció szót preferálják. Én azért használom ezeket a szavakat (mikro- és makroszkopikus), mert képszerűen leírják miről van szó, és így jobban meg lehet jegyezni a rotáció és a "normális" cirkuláció közötti különbséget.
Ha azt mondják "örvény" vagy "örvényes" valami ,akkor az embernek elsőre ilyesmi kép jut eszébe:
Látható amint a levelek körbe-körbe "cirkulálnak".
A levelek mozgása, amit a videón látsz az a MAKROszkopikus cirkuláció.
Namost a rotáció NEM ezt a cirkulációt méri. A rotáció a pontbeli (kicsiny területegységre eső) cirkulációt méri. A "mikroszkopikus cirkuláció" fogalom is innen jön. Remélem a cikk alapján ez még érthetőbb lesz.
Legyen most F=(-y,x,0) a következő videón.Ez most lényegében ugyanaz, mint amit a fenti videón láttunk a levelekkel. A gömböt nem rögzítjük le, hanem hagyjuk szabadon sodródni a vektormezővel.
Tehát mégegyszer: fent a vektormező "makroszkopikus cirkulációja" látható. Általában ha csak simán cirkulációt mondunk, akkor erre a típusú "makroszkopikus cirkulációra" utalunk.
A cirkulációt mindig egy zárt görbe mentén vett
vonalintegrállal értelmezzük. Fent tehát felvettünk egy C zárt görbét, ezután kiszámoltuk rajta a
\$\oint _{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s}$\
vonalintegrált, ami most pozitív. Tehát van cirkulációja
(makroszkopikus cirkulációja) az adott görbén. (Úgy is mondhatnánk, hogy a vektormezőt munkavégzésre lehet bírni a
görbe mentén. Lehet hogy nem érthető elsőre mit jelent ez, de ha valaki hallott már pl a konzervatív erőterekről, akkor
könnyebb átlátni.)
Másrészt amint azt az előző
fejezetekben kiszámoltuk, ennek a vektormezőnek rotációja is van (vagy másképpen mikroszkopikus cirkulációja minden pontban).
Az alábbi videón ez látható.
A mikroszkopikus cirkulációt (vagy egységnyi területre eső cirkulációt) nem egy görbén, hanem pontonként
(minden pontban) értelmezzük. Már levezettük hogy kell kiszámolni.
Ami jól látható, hogy itt lerögzítettük a gömb középpontját, majd hagytuk szabadon pörögni a középpont körül. Így
mindig a pörgés "beállt" egy bizonyos irányba, mégpedig abba, amely irányból a vektormező a legnagyobb erővel hatott rá.
(Pontosabban azzal merőleges irányba.). Illetve felvett egy pörgési sebességet ha felületét különböző erők érték (pl a külső
oldalán nagyobb erő hat a gömbre mint a belső oldalon ezért elkezd pörögni.) Ezt a fajta cirkulációt a
rotációval mértük.
Azt fontos megjegyezni, hogy a gömbök mindig végtelenül kicsik.
Az tehát látható, hogy vannak olyan vektormezők amin egyszerre lehet értelmezni az egyszerű cirkulációt, illetve a "mikroszkopikus cirkulációt"(avagy rotációt) is.
Most pedig egy kis megjegyzés következik:
Nézzük meg az alábbi vektormezőt.
Most F=(y,0,0). Ahogy az y tengelyen haladunk felfelé, (vagy lefelé) úgy lesz egyre erősebb a vektormező.
A videóból gondolom látható, hogy a rotáció nagysága miért pozitív minden pontban.
Viszont mi a helyzet a cirkulációval (másnéven makroszkopikus cirkulációval)?
Már írtam
a divergenciával kapcsolatban, hogy a képek sokszor megtévesztőek lehetnek.
Itt is ugyanez a helyzet: ha beledobnánk egy kis gömböt a vektormezőbe akkor nem kezdene el keringeni a
z-tengely körül. Viszont ha vonalintegrállal kiszámolnánk, akkor a cirkuláció sehol nem lenne 0. Magyarul az, hogy
egy vektormezőbe beledobunk egy kis gömböt, falevelet stb... és nem cirkulál benne körbe-körbe, még nem jelenti azt, hogy
nincs cirkulációja a vektormezőnek !! (Nem szeretem barokk körmondatokat, de az előbbi most az lett. Ha nem érthető írjatok..)
Az egyetlen biztos módszer annak kiszámolására, hogy van-e cirkuláció egy zárt görbe mentén csak a vonalintegrál elvégzésével
lehetséges.
Kapcsolódó cikkek:
Vonalintegrál (vektormezőé)
Vonalintegrál és a cirkuláció.
Mate12345
Jó az oldal. Holnap írok Anal III-ból és pont egy ilyen gyűjteményt kerestem. Köszi. :)