Green-tétel - jelölésmódok

A bevezető részben arról volt szó, hogy a Green tétel a rotáció és a cirkuláció közötti kapcsolatot adja meg kétdimenziós vektormezők esetében, amit a következő egyenlőséggel fejeztünk ki: $$\int_C \mathbf F\cdot d \mathbf s = \iint_D (rot \mathbf F) \cdot \mathbf k \; d\mathbf A$$ vagy $$\int_C \mathbf F\cdot d \mathbf s = \iint_D \left( \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right) \; dA$$

Ahol $\mathbf F (x,y) = (F_1(x,y), \; F_2(x,y))$ kétdimenziós vektormező, és $D$ egy kétdimenziós intervallum, $C$ pedig a terület határát jelenti (pozitív orientációjú, a $D$ területet határoló görbét).

Viszont a Green tételt nem mindig ezekkel a jelölésekkel írják fel. A következőkben erről lesz szó.

A $D$ területet határoló $C$-t gyakran $\partial D$-vel jelölik.
($\partial D$ jelentése: a $D$ területet körbezáró, pozitív orientációjú határvonal.
Ez a jelölés akkor jön elő igazából mikor a Green tételt olyan $D$ intervallumra alkalmazzuk amiben vannak "hézagok".)

Ezekután így fog kinézni a fenti kifejezés: $$\int_{\partial D} \mathbf F\cdot d \mathbf s = \iint_D \left( \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right) \; dA$$ (csak az integrál alatt változott az első tagban) Tehát $\partial D$ a csak szimplán a $D$ határát jelenti, semmi köze a parciális deriválthoz.

Gyakran szeretik még úgy írni, hogy a komponenseket a bal oldalon (a vonalintegrálban) kiírják: $$\int_{\partial D} (F_1\;dx + F_2\; dy) = \iint_D \left( \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right) \; dA$$ Ez a jelölés a vonalintegrál kapcsán már szóba került.

Illetve sok helyen nem $F_1$ és $F_2$ -vel jelölik a komponensfüggvényeket. Jelöljük most $P$-vel és $Q$-val: ekkor a vektormező $\mathbf F(x,y) = (P(x,y), Q(x,y))$ lesz, és a Green tétel ilyen formát ölt: $$\int_{\partial D} (P\;dx + Q\; dy) = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \; dA$$