Green-tétel - jelölésmódok

A bevezető részben arról volt szó, hogy a Green tétel a rotáció és a cirkuláció közötti kapcsolatot adja meg kétdimenziós vektormezők esetében, amit a következő egyenlőséggel fejeztünk ki: $$ \int_C \mathbf F\cdot d \mathbf s = \iint_D (rot \mathbf F) \cdot \mathbf k \; d\mathbf A $$ vagy $$ \int_C \mathbf F\cdot d \mathbf s = \iint_D \left( \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right) \; dA $$

Ahol \$\mathbf F (x,y) = (F_1(x,y), \; F_2(x,y))$\ kétdimenziós vektormező, és \$D$\ egy kétdimenziós intervallum, \$C$\ pedig a terület határát jelenti (pozitív orientációjú, a \$D$\ területet határoló görbét).

Viszont a Green tételt nem mindig ezekkel a jelölésekkel írják fel. A következőkben erről lesz szó.

A \$D$\ területet határoló \$C$\-t gyakran \$\partial D$\-vel jelölik.
(\$\partial D$\ jelentése: a \$D$\ területet körbezáró, pozitív orientációjú határvonal.
Ez a jelölés akkor jön elő igazából mikor a Green tételt olyan \$D$\ intervallumra alkalmazzuk amiben vannak "hézagok".)

Ezekután így fog kinézni a fenti kifejezés: $$ \int_{\partial D} \mathbf F\cdot d \mathbf s = \iint_D \left( \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right) \; dA $$ (csak az integrál alatt változott az első tagban) Tehát \$\partial D$\ a csak szimplán a \$D$\ határát jelenti, semmi köze a parciális deriválthoz.

Gyakran szeretik még úgy írni, hogy a komponenseket a bal oldalon (a vonalintegrálban) kiírják: $$ \int_{\partial D} (F_1\;dx + F_2\; dy) = \iint_D \left( \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right) \; dA $$ Ez a jelölés a vonalintegrál kapcsán már szóba került.

Illetve sok helyen nem \$F_1$\ és \$F_2$\ -vel jelölik a komponensfüggvényeket. Jelöljük most \$P$\-vel és \$Q$\-val: ekkor a vektormező \$\mathbf F(x,y) = (P(x,y), Q(x,y))$\ lesz, és a Green tétel ilyen formát ölt: $$ \int_{\partial D} (P\;dx + Q\; dy) = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \; dA $$