Ez a cikk a konzervatív vektormezőkről szóló sorozat 4.részének tekinthető. Az "útfüggetlen" és "konzervatív" fogalmakat itt is felváltva használom, mivel ugyanazt jelentik.
Az előzőekben röviden arról volt szó, hogy a konzervatív vektormezőkben eltűnik a cirkuláció. Tehát az útfüggetlenség egyrészt cirkulációmentességet jelent, ez viszont még nem minden.
Rájöttek, hogy egy f függvény gradiense igen közeli kapcsolatban van a
konzervatív vektormezőkkel. Ebben a cikkben erről lesz szó.
Aki esetleg nincs tisztában a gradiens
fogalmával, annak javaslom hogy nézzen utána, ugyanis az
itt tárgyaltakat anélkül nem lehet megérteni.
Ha felidézzük a jó öreg Newton-Leibniz formulát, akkor tudjuk, ha integráljuk f deriváltját adott határok között, akkor ez megadja az f függvény teljes változását a és b között 1: $$ \int_a^b f'(t)dt = f(b) - f(a) $$
Ez persze az egyváltozós eset, mi a helyzet több változó esetén? Meg tudnánk itt is adni a "teljes változást" a fenti formában ?
Többváltozó esetén a derivált a gradiens lesz. Ha tudjuk a gradienst, akkor a válasz igen,
viszont most már vonalintegrált kell használnunk:
$$
\int_C \nabla f \cdot d\mathbf x = f(\mathbf q) - f(\mathbf p)
$$
Ennek formulának a levezetését lásd itt. Aki tisztában van a lánc-szabállyal több dimenziós esetben, annak ajánlott elolvasni.
A fenti formulára pillantva egy igen fontos dologra lehetünk figyelmesek: arra, hogy
az
\$\displaystyle \int_C \nabla f \cdot d\mathbf x$\
egy olyan vonalintegrál ami nem függ a görbétől!
Végtelen számú görbe van ami összeköti a p és q pontokat.
Az
\$\displaystyle \int_C \nabla f \cdot d\mathbf x$\
értéke pedig mindegyik görbe esetén ugyanaz (pontosan \$f(\mathbf q)-f(\mathbf p)$\).
Látjuk tehát, hogy \$\nabla f$\ egy olyan vektormező amelyben a vonalintegrál csak a C görbe kezdő és végpontjától függ. Ezeket a vektormezőket, mégegyszer, útfüggetlen vagy konzervatív vektormezőknek is nevezzük.
Amit így kaptunk az azért gyönyörű, mert ha van egy tetszőleges F vektormezőnk, és ezt fel tudjuk írni egy skalár-értékű f függvény gradienseként, akkor már tudjuk hogy F is konzervatív vektormező.
Magyarul, ha F-re igaz, hogy:
$$
\mathbf F =\nabla f
$$
, valamilyen f skalár-értékű függvény esetén, akkor F konzervatív. Fontos megjegyezni, hogy ebben az esetben f-et "potenciálfüggvénynek", vagy az F "potenciáljának" hívjuk.
Az első kérdés persze az, hogy hogyan tudunk ilyen f-et találni amelynek a gradiense éppen F-el egyenlő? (feltéve hogy létezik ilyen f)
Erre majd a példákban kerül sor.
A másik kérdés, hogy miért kell ezzel egyáltalán foglalkoznunk? Miért fontos a potenciálfüggvény ?
- Az első ok az, hogy egy csomó munkától megszabadulunk. Ha F éppen egy útfüggetlen vektormező és ismerjük a potenciálfüggvényét, akkor bármely vonalintegrál igen gyorsan elvégezhető: csak az
\$f(\mathbf q)-f(\mathbf p)$\ különbséget kell kiszámolnunk.
- A második ok pedig, hogy találtunk egy (matematikai) kapcsolatot, két látszólag különböző dolog között. A gradiens és a cirkuláció - pontosabban annak hiánya - között első ránézésre nincs összefüggés, most viszont észrevettünk közöttük egy kapcsolatot. Az ilyen "kapcsolatok", vagy összefüggések felfedezése a matemaika (egyik) feladata..
Megj.: Lovász László híres matematikus mondta régebben2, hogy a hallgatók néha megkérdezik, hogy miért adnak több bizonyítást ugyanarra a tételre pl. csak a Pitagorasz-tételnek több mint
300 bizonyítása ismert3 , miért nem elég egyszer bebizonyítani?
A válasz persze az, hogy a matematika a különböző "kapcsolatokat" keresi az egyes matematikai objektumok között. Bizonyításnak nevezzük azt, amikor feltárjuk ezeket a kapcsolatokat, összefüggéseket. Az, hogy a Pitagorasz-tételnek ennyi bizonyítása van éppen azt jelenti, hogy mennyi mindennel összefügg a matematikán belül.
Időnként igen érdekes kapcsolatokra bukkanunk, olyanokra amelyekre
elsőre nem is gondoltunk volna, és ez teszi a matematikát
igazán széppé. Sok matematikust az ilyen kapcsolatok (bizonyítások)
megtalálása hajta előre...
Ha most azt kérdezed, tudnék-e mutatni példát
ilyen különleges összefüggésre a matematikán belül, akkor
itt a válasz.
(Ez egy egyszerűbbnek mondható példa a sok közül, viszont szép, és igen elgondolkodtató.)
Megj. vége
Kapcsolódó:
Potenciálfüggvény keresése - példa
1. A Newton-Liebniz formulát gyakran így írják: ha \$\displaystyle h'(x) = g(x)$\, akkor \$\displaystyle \int_a^b g(x) \;dx = h(b) - h(a)$\ , ahol h és g integrálható függvények. Fent csak annyit csináltunk, hogy h'(x)-et írtunk az integrálban.
2. A videóban 36:00-tól
3. A The Pythagorean Proposition c. könyv pontosan 367 bizonyítást tartalmaz.
0 Komment