Valós függvény vonalintegrálja

Emlékezz rá ,hogy a görbe ívhosszát így számoltuk ki:

(1) $$ L(c) = \int_a^b \left\| \mathbf c'(t)\right\| \; dt $$
Itt \$\left\| \mathbf c'(t)\right\|$\ a görbe deriváltjának abszolút értéke. Az előző részből kiderült az is, hogy az itt szereplő \$\left\| \mathbf c'(t)\right\| dt$\ kifejezés lényegében a görbe egy kis "elemi" darabjának hosszát jelenti.

A görbe ívhosszánál tehát azt csináltuk, hogy felosztottuk a görbét kis elemi szakaszokra majd ezeket integráltuk ("összeadtuk"), így megkaptuk a teljes hosszt.

Az alábbi animáción látható egy hélixnek egyenes szakaszokkal való közelítése:

Java animáció megjelenítése / elrejtése (nem minden böngésző támogatja már)

Gyakran viszont szükség van rá, hogy a görbe kis darabjait, azaz a \$\left\| \mathbf c'(t)\right\| dt$\-ket, megszorozzuk egy számmal, amit egy \$f(x,y,z)$\ függvény ad meg: $$ \int_a^b f(\mathbf c(t)) \cdot \left\| \mathbf c'(t)\right\| dt $$ ,ahol \$f(\mathbf c(t))$\ jelenti az \$f$\ függvénynek a \$\mathbf c(t)$\ pontban - a görbe aktuális pontjában - felvett értékét.
Ezt tehát úgy nevezzük, hogy valós-függvény vonalintegrálja. Az igazság az, hogy ezt nem mindig így jelölik, pl. gyakran kiírják az x,y,z komponensfüggvényeket:

\$ \displaystyle \mathbf c(t) = x(t)\mathbf i + y(t)\mathbf j + z(t)\mathbf k \quad $\ esetén így is írjuk: $$ \begin{align} \int_{\mathbf c} f \;ds &= \int_a^b f(\mathbf c(t)) \cdot \left\| \mathbf c'(t)\right\| dt =\\ &=\int_a^b f(x(t), y(t), z(t)) \cdot \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2 + z'(t)^2} \;dt \end{align} $$

Ennyit a definícióról. A következő kérdés az, hogy mire is használhatjuk ezt?

Egy tipikus példa, hogy minden kis elemi drótdarabnak van valamennyi sűrűsége, amit egy \$f(x,y,z)$\ ad meg az adott pontban. Tehát pl. a \$(4,7,8)$\ pontban a sűrűség \$f(4,7,8)$\= 1.99g/cm. A feladat, hogy szeretnénk kiszámolni a drót teljes tömegét. Ugye egy egységnyi drótdarab tömegét úgy kapjuk hogy az ottani sűrűséget megszorozzuk az aktuális drótdarab "hosszával" ( \$\left\| \mathbf c'(t)\right\| dt$\-vel), vagyis:

'Elemi drótdarab tömege' \$ \displaystyle = f(\mathbf c(t)) \cdot \left\| \mathbf c'(t)\right\| dt $\

(Persze fel kell tételezni, hogy egy elemi drótdarab annyira kicsi, hogy rajta mindenhol konstans marad a sűrűség; a szorzás csak ekkor végezhető el.)
A teljes tömeget pedig megkapjuk, ha ezt a szorzatot fent látott módon kiintegráljuk.

Itt találhatsz néhány konkrét példát.

A fenti vonalintegrál nem függ a görbe paraméterezésétől.

Mit is jelent ez ?

Egy görbét többféle paraméterezéssel adhatunk meg. (Erről részletesebben itt található egy rövid leírás, javaslom hogy nézz vissza oda ha még nem tetted.)

Például a következő két függvény, c és p, ugyanannak az egységkörnek a két különböző paraméterezése: $$ \mathbf c(t) = \cos(t) \mathbf i + \sin(t) \mathbf j = \begin{pmatrix} \cos(t)\\ \sin(t) \end{pmatrix} \qquad 0\leq t \leq 2\pi $$ $$ \mathbf p(t) = \begin{pmatrix} \cos(2t)\\ \sin(2t) \end{pmatrix} \qquad 0\leq t \leq \pi $$

A valós függvény vonalintegráljánál csak a görbe hossza az ami számít. Ez a két egységkör "egyforma hosszú" lesz tehát nem meglepő hogy az integrál megegyezik a két esetben:

$$ \int_0^{2\pi} f(\mathbf c(t)) \cdot \left\| \mathbf c'(t)\right\| dt = \int_0^{\pi} f(\mathbf p(t)) \cdot \left\| \mathbf p'(t)\right\| dt $$ (A különböző paraméterezéseknél a görbék deriváltja különbözik, a görbe hossza nem.)