Az útfüggetlenség feltételeinek megértése - 2. rész

A következő függvény: $$ \mathbf F (x,y) = \left( \frac{-y}{x^2 + y^2}, \;\frac{x}{x^2+y^2}\right) $$ egy kedvelt függvény az "útfüggetlenség" feltételeinek bemutatására, amelyeket korábban megtárgyaltunk.

Röviden arról volt szó, hogy egyszeresen összefüggő értelmezési tartomány esetén F akkor, és csak akkor konzervatív, ha a rotációja nulla.

Két dimenzióban a rotáció "analógja" a $$ \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} $$ kifejezés, ezt a rotációt komponenseit vizsgálva már láttuk. (Most gondolatban csak az \$xy$\-síkon tartózkodunk, amikoris a rotációban eltűnik az első két komponens - \$\displaystyle rot \mathbf F= (0,0,\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y})$\ - tehát csak a z-komponenssel kell foglalkozunk.)

Ha ezt kiszámoljuk az F(x,y) vektormezőre, akkor látjuk hogy a rotáció nulla, ugyanis: $$ \begin{align} \frac{\partial F_2}{\partial x} &= \frac{1}{x^2 + y^2} - \frac{x(2x)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}\\[10pt] \frac{\partial F_1}{\partial y} &= -\frac{1}{x^2 + y^2}+ \frac{y(2y)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} \end{align} $$
tehát \$\displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} = 0$\.

A rotáció tehát nulla, mondhatjuk-e azt hogy F útfüggetlen vektormező? Nem, az F értelmezési tartományában van egy "hézag": a (0,0) pontban nincs értelmezve. Ez persze nem tűnik nagy hézagnak, mégsem tehetjük meg hogy figyelmen kívül hagyjuk. A matematikában minden egyes pont számít (az ilyen "nehezen kezelhető" pontokat szingularitásoknak is nevezzük, a matematikusoknak igen gyakran meggyűlik velük a bajuk pl. a Poincaré-sejtésnél olyannyira nehéz volt kezelni bizonyos szingularitásokat, hogy több tíz évet vett igénybe a megoldás megtalálása, egyébként ezen sejtés megoldásáért 1 millió $-t ajánlottak fel).

Tehát még mindig nem tudjuk útfüggetlen-e a vektormező. Mit lehet tenni?

Próbáljunk vizsgálódni ott ahol a probléma van, azaz a (0,0) pont környékén.
Talán eszünkbe juthat, hogy ha találnánk csak egy olyan zárt görbét, ahol a vonalintegrál nem nulla, akkor biztosra tudnánk hogy a vektormező nem konzervatív. Nézzünk egy olyan görbét, amely az origó körul halad. A legegyszerűbb ilyen görbe az egységkör.

Az óramutató járásával ellentétes irányú egységkört paraméteresen felírva: $$ \mathbf c(t) = (\cos t, \; \sin t), \qquad 0\leq t \leq 2\pi $$ Az \$\mathbf F(\mathbf c(t))$\ pedig a következő lesz: $$ \mathbf F(\cos t, \; \sin t) = \left(\frac{- \sin t}{\cos^2 t + \sin^2 t},\; \frac{\cos t}{\cos^2 t +\sin^2 t} \right) = (-\sin t ,\; \cos t) $$ A vonalintegrál az origó körül tehát így alakul: $$ \begin{align} \int_C \mathbf F \cdot d\mathbf s &= \int_0^{2\pi} \mathbf F(\cos t, \sin t) \cdot (-\sin t, \; \cos t)\;dt\\[8pt] &= \int_0^{2\pi} (-\sin t,\cos t\;) \cdot (-\sin t, \cos t) \;dt\\[8pt] &=\int_0^{2\pi} (\sin^2 t + \cos^2 t)\; dt = \int_0^{2\pi} 1 \;dt = 2\pi \end{align} $$ azt látjuk , hogy a vonalintegrál nem nulla, amiből már tudjuk hogy az F "útfüggő".

Ha ábrázoljuk az F-et, akkor a cirkuláció jelenléte is látható. Az ábrázolás most egy kicsit nehéz, mivel az origóban szinte "felrobban" a vektormező, a lényeg ennek ellenére remélem látható.

Namost mi van akkor, ha nem az origó körül integrálunk?
Ha a görbe nem zárja körül a \$(0,0)$\ pontot, akkor ezeken a részeken F mindenhol definiálható. Már kiszámoltuk, hogy \$\displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} = 0$\.
A Green tételt alkalmazva látjuk, hogy ekkor mindenhol 0 a cirkuláció: $$ \int_C \mathbf F\cdot d\mathbf s = \iint_D \left( \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right)\; dA = \iint_D 0\; dA = 0 $$ azaz bármely zárt görbén, ami nem nem zárja körül az origót, mindig nulla lesz a vonalintegrál.

A lényeg tehát, hogy ha az F értelmezési tartománya "hézagokat" tartalmaz , akkor figyelnünk kell. A \$rot \mathbf F = 0$\-ból nem mindig következik, hogy a vektormező konzervatív.

Kapcsolódó cikkek:
Konzervatív vektoremzők - bevezető
Potenciálfüggvény keresése