A rotáció komponensei

Az előző részben arról volt szó hogyan lehet "vizuálisan" elképzelni egy vektormező rotációját.
Röviden újra: merítsünk a vektormezőbe (folyadékba) egy kis gömböt , rögzítsük le a középpontját, és hagyjuk szabadon forogni a középpont körül. Ha a gömb forog a vektormező hatására az adott pontban , akkor ehhez a ponthoz rendeljünk egy vektort. Ennek a vektornak a nagysága a gömb forgásának gyorsasága, iránya pedig párhuzamos a forgástengellyel , (a jobbkéz-szabály szerinti irány). Ezt a vektort a vektormező rotációjának nevezzük az adott pontban. Az alábbi animáción rot F egy zöld nyíllal van jelölve.

Java animáció megjelenítése / elrejtése (nem minden böngésző támogatja már)

Mivel rot \$\mathbf F$\ egy vektor ezért fel lehet bontani komponenseire.
Legyen \$\mathbf v = rot \mathbf F$\
Ekkor tehát \$rot \mathbf F = \mathbf v = v_1 \mathbf i + v_2 \mathbf j + v_3 \mathbf k$\.
Pl az x komponens (v₁) azt "méri" , milyen gyorsan forog a gömb ,ha gömböt az x tengellyel párhozamosan állítjuk be. Hogy érthetőbb legyen , nézzük meg ezt részletesebben!

A rotáció x-komponense

Ahhoz hogy elképzeljük az x komponenst hasonlóan mártsuk bele a kis gömbünket a folyadékba, viszont most a gömb forgását korlátozzuk az animáción látható módon! Mondjuk azt, hogy felfűztük egy egyenesre. Ez arra kényszeríti a gömböt, hogy nem foroghat más irányba, csak az egyenes körül. (Magyarul a forgástengely csak ebbe az irányba mutathat.) Az egyenes most tehát párhuzamos az x-tengellyel.

Java animáció megjelenítése / elrejtése (nem minden böngésző támogatja már)

A rotáció v₁ komponense tehát: megnézzük , hogy a folyadék "milyen gyorsan forgatja" a gömböt, ha annak forgástengelye csak az x tengellyel párhuzamos irányba mutathat. Egy kicsit másképpen: a gömböt ugye pontszerűnek tekinthetjük, ekkor ha megfigyeljük, valójában most csak az yz síkon keletkező "cirkuláció" számít bele a gömb forgásába. (Valójában úgy számoljuk ki, hogy a pontra illeszkedő yz síkot "kimetsszük" és kapunk egy 2D-s vektormezőt. Ebben tehát már nincsenek meg az x irányból jövő komponensek, csak az, hogy y, és z irányból hogyan forgatja a gömböt a folyadék. Ezen a 2D-s vekormezőn kell majd vonalintegrálni. Erről, és hogy pontosan hogyan kell levezetni a komponensek értékeit itt írtam, ha valaki nagyon elszánt.)

Fent most a rotáció x komponense POZITÍV (a jobbkéz-szabály ugye), tehát ha ellentétes irányba forogna a gömb, akkor a rotációkomponens is negatív lenne.

Remélem látható, hogy a cikk elején az animáció (ami a "teljes" rotF vektort mutatja zöld nyíllal) nem párhuzamos az x tengellyel. (Ott teljesen szabadon pöröghetett a középpontja körül.) Ha viszont a fenti x-komponenst mutató animációra nézünk, akkor látjuk, hogy lassabban forog a gömb, mert ott csak az yz síkon levő "forgatást" mérjük.

De pontosan hogyan is számoljuk ki a rotáció komponenseit ? Az x-komponenst így: $$ v_1 = rot\mathbf F\cdot \mathbf i = \frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z} $$ (Látható, hogy a vektormező F₁ komponense nem játszik szerepet a rotáció x-komponensében! , csak F₂ és F₃ ) Ha tudod mi az a vonalintegrál, le is lehet vezetni. A levezetés - újra - itt található.

A rotáció y-komponense

Most gömbünket egy olyan egyenesre tűzzük fel ami párhuzamos az y-tengellyel. A gömb most nem forog, tehát a rotáció y-komponense nulla. Miért? Talán látható az alsó animációról: a vektormező úgy van megválasztva, hogy ha a gömb forgását így lekorlátozzuk, akkor nem hat rá semmilyen "forgatóerő" a folyadék részéről.

Java animáció megjelenítése / elrejtése (nem minden böngésző támogatja már)

Az eredeti képen (első animáció) a zöld vektorra nézve látható, hogy merőleges az y-tengelyre. Ez éppen azért van mert a rotáció y-komponense nulla.

A rotáció y-komponensét így számoljuk: $$ v_2 = rot \mathbf F \cdot \mathbf j = \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x} $$

A rotáció z-komponense

Hasonlóan az előzőekhez, most egyenesünket a z-tengellyel párhuzamosan állítjuk be. Jelen esetben a rotáció z-komponense az animáción látható pontban pozitív.

A rotáció z-komponensét így számoljuk: $$ v_3 = rot \mathbf F \cdot \mathbf k = \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} $$

Java animáció megjelenítése / elrejtése (nem minden böngésző támogatja már)

Tehát összegezve: a rotáció minden pontban egy vektor, amelynek komponensei a "mikroszkopikus cirkulációt" mérik az x,y és z irányokban. Felírva az összes komponenst:

$$ rot \mathbf F = \left( \frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}, \quad \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x},\quad \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right) $$

Azt még megemlíteném, hogy nincs semmi különleges az i,j, és k irányokban. Bármilyen e egységvektorra (\$\left\| e \right\| = 1$\) , a \$rot \mathbf F \cdot \mathbf e$\ "kivetítés" megadja a rotációt az e irányban. Ez, az előbbiekkel összhangban, megyegyzne az e-vel párhuzamos egyenesre "feltűzött" kis gömb forgásával. Ennek kapcsán a rotáció majd előjön még a Green, és Stokes tételeknél is.

Kapcsolódó cikkek még:
- A vonalintegrál és a rotáció komponensei.
- Olvashatsz a mikroszkopikus vs. makroszkopikus cirkulációról ami a rotáció és a "normális" cirkuláció közötti különbségekről szól, illetve hogy miért használom ezeket a szavakat.
- A rotáció komponenseinek részletes levezetése.